La situación física que se estudia en esta página, es el de una esfera sólida que rueda sin deslizar sobre una plataforma giratoria inclinada un ángulo α. Este problema está conectado con el movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico y magnético cruzados.
Cuando la plataforma es horizontal la esfera describe una órbita circular con una velocidad angular que es las dos séptimas partes de la velocidad angular de la plataforma. Cuando se inclina la plataforma, se superpone al movimiento circular un movimiento rectilíneo con velocidad constante hacia un lado (no a lo largo de la pendiente) denominada velocidad de deriva.
Ecuaciones del movimiento de la esfera
Para describir el movimiento de la esfera situamos el Sistema de Referencia Inercial del siguiente modo: eje Y a lo largo de la plataforma inclinada un ángulo α, el eje X perpendicular al mismo y el eje Z perpendicular al plano de la plataforma, tal como se muestra en las figuras.
La esfera parte de la posición x0, y0 con velocidad V0, cuyas componentes son V0x=V0·cosφ, V0y=V0·senφ, rodando sin deslizar sobre la plataforma
Descomponemos el movimiento de la esfera de masa m y radio R en el plano, en dos movimientos.
- A largo del eje X, el c.m. de la esfera se mueve con velocidad Vx y gira con velocidad angular ωy alrededor de un eje paralelo al eje Y que pasa por su c.m.
- A largo del eje Y, el c.m. de la esfera se mueve con velocidad Vy y gira con velocidad angular ωx, alrededor de un eje paralelo al eje X que pasa por su c.m
Las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la esfera con la plataforma son:
vx=Vx-ωy·R
vy=Vy+ωx·R
vy=Vy+ωx·R
Si el punto de contacto P dista r del eje de rotación de la plataforma que gira con velocidad angular W. Las componentes de la velocidad del punto P
vx=-W·r·senθ=-W·y
vy=W·r·cosθ=W·x
vy=W·r·cosθ=W·x
Para que la esfera ruede sin deslizar, el punto de contacto P debe de estar en reposo respecto de la plataforma. Se cumplirá por tanto,
-W·y=Vx-ωy·R
W·x=Vy+ωx·R (1)
W·x=Vy+ωx·R (1)
Las fuerzas sobre la esfera son:
- El peso mg
- La reacción del plano N
- La fuerza de rozamiento F en el punto de contacto P, cuyo valor y dirección en el plano son desconocidos
Como vemos en la figura, la componente Fx de la fuerza de rozamiento se opone al movimiento de traslación del c.m. y favorece el movimiento de rotación
La componente Fy y la componente mg·senα se opone al movimiento de traslación del c.m. y la primera, al movimiento de rotación
Ecuación del movimiento del centro de masas
Ecuación de la dinámica de rotación
Para una esfera la fórmula del momento de inercia es Ic=2mR2/5
Eliminamos las dos componentes desconocidas de la fuerza de rozamiento Fx, y Fy en las ecuaciones del movimiento.
Derivamos respecto del tiempo las ecuaciones (1)
Eliminamos las derivadas de las componentes de la velocidad angular dωx/dt, y dωy/dt, y obtenemos las ecuaciones diferenciales del movimiento del c.m. de la esfera.
Trayectoria del c.m. de la esfera
Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas. Para desacoplarlas, despejamos Vy de la primera ecuación y la introducimos en la segunda.
La solución de esta ecuación diferencial (similar a la de un MAS) es de la forma
Vx=Acos(k·t)+B·sen(k·t)+c
donde k=2W/7
Introduciendo Vx en la ecuación diferencial, obtenemos la solución particular c de la ecuación diferencial de segundo orden.
A partir de la expresión de Vx, obtenemos la componente Vy de la velocidad del c.m.
Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las componentes de la velocidad del c.m. son (V0x, V0y).
Podemos escribir estas ecuaciones de forma general definiendo dos variables, cuyo significado veremos más adelante.
Vx=(V0x-Vd)·cos(ωct)-V0y·sen(ωc·t)+Vd
Vy=(V0x-Vd)·sen(ωct)+V0y·cos(ωc·t)
Vy=(V0x-Vd)·sen(ωct)+V0y·cos(ωc·t)
Sabiendo que en el instante t=0, la posición del centro de la esfera es (x0, y0), calculamos la abscisa x del centro de la esfera integrando la expresión de la velocidad Vx en función del tiempo. Se hace lo mismo para la ordenada y.
Podemos escribir de forma alternativa esta ecuación de la forma
Elevando al cuadrado y sumando
Se trata de la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (a, b) y de radio Rc
(x-a)2+(y-b)2=Rc2
donde
El centro se mueve a lo largo del eje X (no a lo largo del plano inclinado) con velocidad Vd., que se denomina velocidad de deriva.
Ejemplo
- Posición inicial de la esfera: y0=0, x0=-0.4
- Velocidad inicial de la esfera: V0=0.2, φ=90º bien, Vx0=0, Vy0=0.2
- Velocidad angular de rotación de la plataforma: W=2 rad/s
- Inclinación de la plataforma α=0.2
Casos particulares
Cuando la plataforma está horizontal α=0
Si la plataforma está horizontal α=0, y Vd=0
La circunferencia está centrada en el punto fijo
La esfera describe una circunferencia alrededor de un centro que no coincide con el eje de rotación de la plataforma. El tiempo que tarda en dar una vuelta completa es
7/2 veces el tiempo que precisa la plataforma en dar una vuelta completa. Así pues, ωc es la frecuencia angular de la esfera en su movimiento orbital sobre la plataforma giratoria. Como la esfera rueda sin deslizar, no se deberá confundir ωc con la velocidad angular de rotación de la esfera alrededor de su propio eje
Ejemplo:
- Posición inicial de la esfera y0=0, x0=0.8
- Velocidad inicial de la esfera: V0=0.2, φ=90º bien, Vx0=0, Vy0=0.2
- Velocidad angular de rotación de la plataforma: W=2 rad/s
- Inclinación de la plataforma α=0
Cuando la esfera parte del reposo
V0x=V0y=0 desde el origen x0=0, y0=0
que son las ecuaciones de una cicloide
Ejemplo:
- Posición inicial de la esfera: y0=0, x0=-0.8
- Inclinación de la plataforma α=0.2
- Velocidad inicial de la esfera: V0=0, φ=0º bien, Vx0=0.0, Vy0=0.0
- Velocidad angular de rotación de la plataforma: W=2 rad/s
Movimiento rectilíneo
Si V0y=0, y V0x=Vd.
x=x0+Vd·t
y=y0
y=y0
La esfera se mueve horizontalmente a lo largo del eje X (no a lo largo del plano inclinado) con velocidad constante.
Ejemplo:
- Posición inicial de la esfera: y0=0, x0=-0.8
- Inclinación de la plataforma α=0.2
- Velocidad inicial de la esfera: V0=5g·senα/(2W), φ=0º bien, Vx0=0.043, Vy0=0.0
- Velocidad angular de rotación de la plataforma: W=2 rad/s
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