En esta página, estudiamos de nuevo el choque de dos discos. En vez de resolver un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, vamos a deducir las expresiones de
- Las velocidades lineales v1 y v2 de los discos después del choque
- Los ángulos de desviación f1 y f2 de los discos respecto recta que pasa por los centros de ambos discos cuando entran en contacto en el momento del choque.
- Las velocidades angulares w1 y w2 de los discos después del choque
- La energía Q perdida en la colisión
En términos de la velocidad u1 del disco incidente y del ángulo θ1 que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta que pasa por los centros de ambos discos cuando entran en contacto en el momento del choque.
En la figura, se muestra un esquema de la colisión de dos discos de masas m1 y m2, y radios r1 y r2 respectivamente. El segundo disco está en reposo u2=0, mientras que el primero lleva una velocidad u1 antes del choque. El choque está caracterizado por el denominado parámetro de impacto b, que es la distancia entre la dirección de la velocidad u1 del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. Alternativamente, podemos caracterizarla por el ángulo θ1 que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta (eje X) que pasa por los centros de ambos discos cuando entran en contacto en el momento del choque.
Después del choque, el primer disco se mueve con velocidad v1 haciendo un ángulo f1 con la parte positiva del eje X y a su vez, gira alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular w1. El segundo disco se mueve con velocidad v2 haciendo un ángulo f2 con el eje X y a su vez, gira alrededor de de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular w2.
Datos del problema
- Las masas de los discos m1 y m2 y sus radios r1 y r2
- La velocidad inicial u1 del primer disco y su dirección θ1. El segundo disco está en reposo u2=0
Incógnitas
- La velocidad del centro del primer disco después del choque v1, su dirección f1, la velocidad angular de rotación w1.
- La velocidad del centro del segundo disco después del choque v2, su dirección f2, la velocidad angular de rotación w2.
Parámetro de impacto
Se denomina parámetro de impacto b, a la distancia entre la dirección de la velocidad u1 del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. La relación entre le parámetro de impacto b y el ángulo θ1 que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta (eje X) que pasa por los centros de ambos discos, cuando entran en contacto en el momento del choque, se puede apreciar en la figura.
 | b=(r1+r2)·senθ1 |
Principios de conservación
- Tenemos un sistema aislado de dos partículas interactuantes. Aplicamos el principio de conservación del momento lineal
Denominamos eje X a la recta que une los centros de los dos discos cuando entran en contacto en el momento del choque, y eje Y a la dirección perpendicular.
En la figura, se han sustituido los vectores u1, v1 y v2 por sus componentes a lo largo del eje X y del eje Y
- A lo largo del eje Y
m1u1·senq1=m1v1·senf1+m2v2·senf2 (1)
- A lo largo del X
m1u1·cosq1= m1v1·cosf1+m2v2·cosf2 (2)
- Constancia del momento angular de cada uno de los discos. El momento angular respecto del punto de contacto de los dos discos antes y después del choque es el mismo
El momento angular de cada uno de los discos se mantiene constante. Ya que las fuerzas que ejerce un disco sobre el otro actúan en el punto de contacto P. El momento de dichas fuerzas respecto de P es cero.
m1·r1·u1senq1=m1·r1·v1senf1+I1w1
0=-m2·r2·v2senf2+I2w2
Sabiendo que los momentos de inercia de cada uno de los discos respecto al ejes perpendicular al disco y que pasa por su centro son:
r1w1 =2·u1senq1-2·v1senf1 (3)
r2w2 =2·v2senf2 (4)
Balance energético. Coeficiente de restitución
De la definición de coeficiente de restitución
e·u1cosq1= -v1cosf1+v2cosf2 (5)
Tenemos 6 incógnitas y tan solo 5 ecuaciones, precisamos una ecuación más para resolver el problema. Estudiamos ahora las fuerzas entre los discos cuando entran en contacto
Cuando los discos están en contacto
Supondremos que:
- Que las fuerzas normales dependen de las propiedades elásticas de los cuerpos, mientras que las fuerzas tangenciales dependen del rozamiento entre los discos, las cuales dependen del estado de las superficies en contacto.
- Que los coeficientes de restitución y de rozamiento son constantes y solamente dependen de la naturaleza de los materiales con los que están hechos los discos.
Se pueden presentar dos casos:
No hay deslizamiento
Consideremos el caso de que no hay deslizamiento de un disco respecto del otro en el punto de contacto P. Las velocidades de los dos discos en el punto de contacto P serán iguales.
v1senf1-r1 w 1=v2senf2+r2 w2 (6)
Hay deslizamiento
Las fuerzas sobre el disco azul en le punto de contacto son:
- La reacción N,
- La fuerza de rozamiento F
La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Dt en el que los discos están en contacto modifica la componente del momento lineal del disco a lo largo de la dirección de dicha fuerza..
De modo análogo, el impulso de la fuerza F modifica el momento lineal del disco. La fuerza de rozamiento F es de sentido contrario a la velocidad del disco en el punto de contacto P.
De la relación ente ambas fuerzas F=m ·N, obtenemos
m ·(v1cosf1- u1cosq1)= (v1senf1-u1senq1) (6')
Las fuerzas sobre el disco rojo en el punto de contacto son:
- La reacción N,
- La fuerza de rozamiento F.
Las fuerzas en el punto de contacto P son iguales y de sentido contrario
La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Dt en el que los discos están en contacto modifica la componente del momento lineal del disco en la dirección de dicha fuerza.
De modo análogo, el impulso de la fuerza F modifica el momento lineal del disco. La fuerza de rozamiento F es de sentido contrario a la velocidad del disco en el punto de contacto P.
De la relación ente ambas fuerzas F=m ·N, obtenemos
m ·v2cos f2= v2senf2
tanf2 =m (7')
Resolución de las ecuaciones
De los dos casos estudiados hay cinco ecuaciones comunes
m1u1·senq1=m1v1·senf1+m2v2·senf2 (1)
m1u1·cosq1= m1v1·cosf1+m2v2·cosf2 (2)
m1u1·cosq1= m1v1·cosf1+m2v2·cosf2 (2)
r1w1 =2·u1senq1-2·v1senf1 (3)
r2w2 =2·v2senf2 (4)
r2w2 =2·v2senf2 (4)
e·u1cosq1= -v1cosf1+v2cosf2 (5)
Las ecuaciones específicas
Hay deslizamiento
- La ecuación (7') nos proporciona el ángulo f2 que hace la velocidad de la segunda partícula v2 después del choque con la línea que une los centros de las dos partículas en el momento del choque
tanf2 =m (7')
La ecuación (7') se puede escribir de forma alternativa
senf2 =m ·cosf2 (7')
- El módulo de la velocidad v1 y el ángulo f1 que hace la dirección de dicha velocidad después del choque con la línea que une los centros de las dos partículas en el momento del choque
Se introduce (7') en la ecuación (1), se despeja v2cosf2 de (5) y se sustituye en (1) y (2)
u1·(m1senq1-m ·e·m2cosq1)=m1v1·senf1+m2v1·m ·cosf1
u1·(m1-m2 ·e)·cosq1= (m1+m2)v1·cosf1
Llamando M=m1/m2, despejamos v1·cosf1 de la ecuación (2) y v1·senf1 de la ecuación (1)
- Módulo de la velocidad de la segunda partícula v2 después del choque
Se despeja v1·cosf1 en la ecuación (5) y se sustituye en la ecuación (2)
m1u1·cosq1= m1v1·cosf1+m2v2·cosf2 (2)
- Velocidades angulares de rotación de los discos w1 y w2
Despejamos v1·senf1 de la ecuación (1) y la sustituimos en la (3)
r1w1 =2·u1senq1-2·v1senf1=2(m2/m1)v2·senf2 (3)
r2w2 =2·v2senf2 (4)
Comprobación
No hemos empleado la ecuación (6'), pero comprobaremos que se cumple
m ·(v1cosf1- u1cosq1)= v1senf1-u1senq1 (6')
Introducimos las expresiones de v1cosf1 y de v1senf1 previamente deducidas y comprobaremos que se cumple la igualdad.
Balance energético
Se denomina Q de la colisión a la diferencia entre las energías cinéticas de los discos después del choque, y la energía cinética antes del choque
La energía cinética de los discos después del choque, es la suma de dos términos: la energía cinética de traslación del c.m. del disco y la energía cinética de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Sustituimos las velocidades después del choque v1, v2, w1 y w2 en función de la velocidad del primer disco antes del choque u1 y del ángulo θ1.
Utilizando las relaciones sen2θ1=2senθ1·cosθ1 y 1+tan2θ1=1/cos2θ1 y después de varias operaciones algebraicas se llega al siguiente resultado
No hay deslizamiento
- Módulo de la velocidad de la segunda partícula v2 después del choque y su dirección f2
Se sustituye r1w1 y r2w2 de las ecuaciones (3) y (4) en la ecuación (6) específica para este caso particular
r1w1 =2·u1senq1-2·v1senf1 (3)
r2w2 =2·v2senf2 (4)
v1senf1-r1 w1=v2senf2+r2 w2 (6)
Introducimos las expresiones de r1w1 y de r2w2 en la ecuación (6)
3v1senf1-2·u1senq1=3v2senf2
Despejamos v1senf1 de esta ecuación y la sustituimos en la ecuación (1)
m1u1·senq1=m1v1·senf1+m2v2·senf2 (1)
(m1/3)u1·senq1=(m1+m2)v2·senf2
Despejamos v1cosf1 de la ecuación (5) y la sustituimos en la ecuación (2)
m1u1·cosq1= m1v1·cosf1+m2v2·cosf2 (2)
e·u1cosq1= -v1cosf1+v2cosf2 (5)
Estas dos ecuaciones nos dan la velocidad de la segunda partícula después del choque v2 y su dirección f2
- Módulo de la velocidad de la primer disco v1 después del choque y su dirección f1
En la ecuación (1) sustituimos v2·senf2 y despejamos v1·senf1
En la ecuación (2) sustituimos v2·cosf2 y despejamos v1·cosf1
Estas dos ecuaciones nos dan la velocidad de la primera partícula después del choque v1 y su dirección f1
- Velocidades angulares de rotación de los discos w1 y w2
En las ecuaciones (3) y (4) sustituimos v1senf1 y v2senf2 por las expresiones calculadas previamente
Balance energético
Se denomina Q de la colisión a la diferencia entre las energías cinéticas de los discos después del choque, y la energía cinética antes del choque
La energía cinética de los discos después del choque, es la suma de dos términos: la energía cinética de traslación del c.m. del disco y la energía cinética de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Sustituimos las velocidades después del choque v1, v2, w1 y w2 en función de la velocidad del primer disco antes del choque u1 y de su dirección θ1.
Haciendo algunas operaciones llegamos al resultado
Caso particular: choques frontales
Cuando el parámetro de impacto b=0, o θ1=0, el choque se denomina frontal
- Los ángulos que forman las velocidades con la recta que une los centros de los discos son f1=0 y f2 =0.
- Las velocidades angulares de rotación de los discos son w1=0 y w2 =0
- Las velocidades v1 y v2 de los centros de los discos después del choque son:
que son las ecuaciones que se han obtenido para los choques frontales cuando la segunda partícula está en reposo u2=0 antes del choque y se define M=m1/m2.
La energía perdida en el choque es
Energía perdida en el choque eses decir, la fracción (1-e2)/(M+1) de la energía cinética de del disco incidente.
Ángulo crítico
Comparemos los valores de los ángulos de los discos después del choque f1 y f2 en los dos casos estudiados
- Hay deslizamiento
tanf2 =m
- No hay deslizamiento
- Comprobamos que para el ángulo crítico θc
tanθc=3(1+e)μLas expresiones de los ángulos f1 y f2 coincidentanf2 =m
Medida de los ángulos en el laboratorio
En el laboratorio se mide el parámetro de impacto b, que está relacionado con el ángulo θ1, que forma la dirección del la velocidad u1 del disco incidente con la línea que une los centros de los dos discos.
b=(r1+r2)·senθ1
y los ángulos φ1 y φ2 que forman las velocidades v1 y v2 de los discos después del choque con la dirección de la velocidad del primer disco u1. Estos ángulos, como puede fácilmente deducirse de la figura son
φ1=f1 -θ1
φ2=θ1-f2
φ2=θ1-f2
Ejemplos
Ejemplo 1:
Datos relativos a los discos
- Cociente M=m1/m2=1 entre las masa de los discos,
- Radios de los discos r2=1 y r1=1
- Discos ambos de acero, e=0.94 y m =0.10
Antes del choque
- Velocidad inicial u1=3.5 del primer disco
- Parámetro de impacto b=1.5.
Dado el parámetro de impacto calculamos el ángulo θ1
1.5=(1+1)·senθ1 θ1 =48.6º
El ángulo crítico es
tanθc=3(1+0.94)0.1 θc=30.2ºEstamos en el caso hay deslizamiento
Después del choque
- Módulo de la velocidad de la primer disco v1 después del choque y su dirección f1
v1=2.40, f1=88.3º
Ángulo medido en el laboratorio φ1=88.3-48.6=39.7º (por encima de la horizontal)
- Módulo de la velocidad de la segundo disco v2 después del choque y su dirección f2
tanf2 =0.1 f2 =5.7ºÁngulo medido en el laboratorio φ2=48.6-5.7=42.9º (por debajo de la horizontal)
- Velocidades angulares de rotación de los discos w1 y w2
(Las velocidades angulares son positivas en el sentido de las agujas del reloj)
- Energía perdida en la colisión
Q=-0.594
Mediante la fórmula
Ejemplo 2º.
Datos relativos a los discos
- Masas de los discos m1=0.5, m2=1
- Radios de los discos r1=2, r2=1
- Discos ambos de acero, e=0.94 y m =0.10
Antes del choque
- Velocidad inicial u1=3.5 del primer disco
- Parámetro de impacto b=0.4.
0.4=(2+1)·senθ1 θ1 =7.7º
El ángulo crítico es
tanθc=3(1+0.94)0.1 θc=30.2ºEstamos en el caso no hay deslizamiento
Después del choque
- Módulo de la velocidad de la segundo disco v2 después del choque y su dirección f2
v2=2.244 f2 =1.3
Ángulo medido en el laboratorio φ2=7.7-1.3=6.4º (por debajo de la horizontal)
- Módulo de la velocidad de la primer disco v1 después del choque y su dirección f1
v1=1.080 f1 =160.4º
Ángulo medido en el laboratorio φ1=160.4-7.7=152.7º (por encima de la horizontal)
- Velocidades angulares de rotación de los discos w1 y w2
(Las velocidades angulares son positivas en el sentido de las agujas del reloj)
- Energía perdida en la colisión
Q=-0.246Mediante la fórmula
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