 | El columpio se utiliza de dos formas distintas:
Para explicar cualitativamente el funcionamiento de este columpio autopropulsado, supondremos que el centro de masas del niño repentinamente sube o baja en ciertas posiciones de la oscilación. |
Se efectuará un análisis simplificado, en el que se considera al niño como una masa puntual situada en su centro de masas, que puede subir o bajar su c.m. una longitud δ mediante la acción de las fuerzas interiores. Se despreciará también el rozamiento del aire y en el eje del columpio.
Etapas del movimiento
En este apartado, haremos un análisis detallado de cada una de las etapas de un ciclo de las oscilaciones del columpio.
Primera etapa
 | El columpio sale de la posición θ0 con velocidad angular inicial nula ω=0. Llega a la posición de equilibrio θ=0, con una velocidad angular ω1, que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía.  donde md2 es el momento de inercia de una masa puntual m que dista d del eje de rotación O. La energía total inicial es E1=mgd(1-cosθ0) |
Segunda etapa
 | Cuando el columpio alcanza la posición de equilibrio θ=0, el niño sube su centro de masas (c.m.) una distancia δ. En ese preciso instante, el momento de las fuerzas que actúa sobre el columpio es cero (todas las fuerzas pasan por el origen O), el momento angular permanece constante. 
|
La velocidad angular final ω2 aumenta al disminuir la distancia al eje de rotación.
La energía total es
Balance energético
Calculamos en la posición de equilibrio θ=0, la energía inicial, la final y el trabajo que ejercen las fuerzas interiores para subir una altura δ el centro de masas del niño.
La energía inicial es
La energía final es
 | Para que el niño suba la posición de su centro de masas δ, ha de realizar un trabajo. La fuerza mínima F que han de ejercer sus músculos ha de compensar la suma del peso mg y la fuerza centrífuga mω2x. Siendo x la distancia desde el centro de masa al eje de rotación O. La constancia del momento angular en la posición de equilibrio θ=0 nos proporciona el valor de la velocidad angular ω cuando el c.m. está a una distancia x del eje de rotación O md2·ω1= mx2·ω |
La fuerza F tiene el mismo sentido que el desplazamiento, el trabajo es positivo
Hemos comprobado que el trabajo realizado por las fuerzas interiores para elevar el c.m. es igual a la diferencia entre la energía final y la inicial.
Tercera etapa
Tenemos ahora la situación opuesta a la primera etapa, el columpio con una velocidad angular inicial ω2 en la posición θ=0, alcanza un máximo desplazamiento angular θ1. Aplicando el principio de conservación de la energía
El ángulo máximo θ1 que se desvía el columpio es, combinado las expresiones anteriores
como d>(d-δ) resulta que θ1>θ0
La energía total es
E2=mg(d-δ)(1-cosθ1)+mgδ=mgd(1-cosθ1)+mgδcosθ1
Cuarta etapa
 | En la posición angular de desviación máxima θ1, la velocidad angular ω=0. El niño baja la posición de su centro de masas en δ. El único cambio que experimenta el sistema es una disminución de la energía potencial a cuenta del trabajo de las fuerzas internas. Poniendo en el eje O en nivel cero de la energía potencial. ΔEp=-mgdcosθ1+mg(d-δ)cosθ1= -mgδcosθ1 |
La energía total es
E3=mgd(1-cosθ1)
Quinta etapa
Es similar a la primera etapa, el columpio se mueve hacia la posición de equilibrio estable θ=0, que alcanza con una velocidad angular ω3. Aplicando el principio de conservación de la energía
La energía total es E3
Sexta etapa
 | La sexta etapa es similar a la segunda etapa. En la posición de equilibrio estable, el centro de masas sube una altura δ. La velocidad angular se incrementa de nuevo de ω3 a ω4. La constancia del momento angular en la posición de equilibrio estable θ=0, nos proporciona el valor de la velocidad angular final ω4.  La energía total es  |
Séptima etapa
La séptima etapa es similar a la tercera etapa. El columpio parte de la posición de equilibrio estable θ=0, con una velocidad angular inicial ω4, alcanzando un desplazamiento máximo θ2 que se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía
Como ω4> ω3 el máximo desplazamiento θ2 > θ1
Relacionamos ambos desplazamientos mediante la fórmula
La energía total es
E4=mg(d-δ)(1-cosθ2)+mgδ=mgd(1-cosθ2)+mgδcosθ2
Octava etapa
 | En la posición de máximo desplazamiento θ2, ω=0, el centro de masa baja δ, con lo que se completa el primer ciclo de las oscilaciones del columpio.La energía total es E5=mgd(1-cosθ2) |
Ecuaciones del movimiento del columpio entre las posiciones media y extremas
 | La ecuación del movimiento del columpio entre la posiciones extremas θi (i=0, 1, 2,3..) y la posición de equilibrio estable θ=0, es la misma que la de un péndulo de longitud l=d, l=d-δ, dependiendo de la distancia entre el c.m. y el eje O del columpio. El momento angular de una partícula de masa m respecto del origen O es el producto del momento de inercia ml2 por la velocidad angular ω, L=ml2·ω |
El momento M de las fuerzas que actúan sobre la partícula respecto del origen O es
M=-mglsenθ
La ecuación del movimiento es dL/dt=M se escribe en forma de ecuación diferencial
Las condiciones iniciales dependen de cada etapa del movimiento:
- en la primera etapa, l=d, θ=θ0, dθ/dt=0
- en la tercera etapa, l=d-δ, θ=0, dθ/dt=ω2
- en la quinta etapa, l=d, θ=θ1, dθ/dt=0
- en la séptima etapa, l=d-δ, θ=0, dθ/dt=ω4
- y así sucesivamente...
Resumiendo
- El columpio debe de estar desplazado inicialmente un ángulo θ0>0, para que pueda funcionar el mecanismo descrito en esta página.
- El c.m. del niño sube y baja de forma instantánea por la acción de las fuerzas internas, en la posición de equilibrio y en las posiciones de máximo desplazamiento.
- Mediante el mecanismo que se ha descrito, el trabajo de las fuerzas internas (acción de los músculos) se invierte en incrementar el máximo desplazamiento del columpio de modo que θ0< θ1< θ2< θ3<… Teóricamente, el columpio puede llegar a dar una vuelta completa.
En el primer ciclo completo, el desplazamiento máximo θ2 valeSi el centro de masas se eleva y desciende una altura δ pequeña comparada con la longitud d del columpioEn el segundo cicloy así, sucesivamente.
- La energía total al finalizar la segunda oscilación vale
donde E0 es la energía inicial del columpio. Después de n oscilacionesLa energía crece exponencialmente independientemente de la masa del niño y depende solamente del desplazamiento relativo δ/d del c.m. del niño en las posiciones extremas y en el medio de la oscilación.
Ejemplo
- El desplazamiento angular inicial θ0=10º
- El desplazamiento del c.m. δ=6 cm=0.06 m
- La distancia inicial d=1.0 entre le c.m. y eje de rotación O.
En la figura se muestra un ciclo completo de operación del columpio
1.-La energía inicial es E1=mgd(1-cosθ0)=m·9.8·1.0·(1-cos10º)=0.15·m
2.-Se aplica el principio de conservación de la energía. La velocidad angular ω1 en la posición de equilibrio es
La energía E2=E1
3.-El centro de masa asciende, se conserva el momento angular
md2·ω1=m(d-δ)2·ω2, ω2 =0.62 rad/s
La energía total es
4.-La energía cinética se convierte en energía potencial, el columpio se desvía un ángulo θ1
La energía E4=E3
5.-El centro de masas desciende, la energía total es
E5=m9.8·1(1-cos11º)=0.18·m
6.-Se aplica el principio de conservación de la energía. La velocidad angular ω3 en la posición de equilibrio es
La energía E6=E5
7.-El centro de masa asciende, se conserva el momento angular
md2·ω3=m(d-δ)2·ω4, ω4 =0.68 rad/s
La energía total es
8.-La energía cinética se convierte en energía potencial, el columpio se desvía un ángulo θ2
La energía E8=E7
9.-El centro de masas desciende, la energía total es
E9=m9.8·1(1-cos12º)=0.22·m
10.-Comienza un nuevo ciclo.
Los desplazamientos máximos se pueden calcular mediante las fórmulas
Aplicamos la misma fórmula para calcular el desplazamiento máximo θ2, conocido θ1.
y así sucesivamente...
El programa interactivo, se ha diseñado de modo que el desplazamiento máximo θi (i=0, 1, 2,3 ..) no crezca indefinidamente. Cuando este desplazamiento supera 75º, se invierte el sentido de δ. El c.m. baja cuando el columpio pasa por la posición de equilibrio θ=0 disminuyendo la velocidad angular en vez de aumentarla. Desde el punto de vista energético diremos que las fuerzas interiores realizan un trabajo negativo que hacen que la energía final sea menor que la inicial.
El columpio va disminuyendo de amplitud en cada ciclo de su movimiento oscilatorio, hasta pararse después de un tiempo teóricamente infinito. En la práctica, los rozamientos con el aire y en el eje y otras variables que no se han tenido en cuenta en este modelo simplificado hacen que se pare al cabo de cierto tiempo.
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