En esta página, vamos a estudiar un ejemplo interesante de movimiento de rotación de un sólido rígido.
 | El extremo P de una escalera de masa m y longitud L está apoyada en una pared vertical a una altura y sobre el suelo. Su extremo O desliza sobre el suelo con velocidad v0 constante y dista x de la pared vertical. Se cumple que x2+y2=L2 y tanθ=x/y siendo θ el ángulo de la escalera con la dirección vertical |
Si el extremo P se mueve con velocidad vy, y el extremo O se mueve con velocidad v0, la relación entre las velocidades es
Cuando θ se aproxima a 90º, vy tiende a infinito, lo que no es una solución físicamente posible.
Movimiento de la escalera mientras está en contacto con la pared vertical
Las fuerzas sobre la escalera son:
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Calculamos los momentos respecto del eje que pasa por O, que está fijo en un sistema de referencia inercial que se mueve con velocidad v0 con respecto a la pared. Aplicamos la ecuación de la dinámica de rotación
(1)Donde I es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por uno de sus extremos.
Mientras el extremo P de la escalera está en contacto con la pared vertical, la posición del extremo O es x=Lsenθ, como la velocidad de O es constante
Determinamos el ángulo θ que forma la escalera con la dirección vertical, en función del tiempo resolviendo la ecuación diferencial (2) por procedimientos numéricos
(2)Con las condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=θ0, dθ/dt=v0/(Lcos θ0)
De las ecuaciones (1) y (2) despejamos la fuerza Fp que ejerce la pared vertical sobre el extremo P de la escalera
En la figura, podemos ver el comportamiento de Fp frente al ángulo θ para tres valores de v02/gL.
- Si v02/gL≥3/2, la fuerza Fp<0 y por tanto, el extremo P de la escalera deja de estar en contacto con la pared vertical desde el mismo momento t=0 en que el extremo O empieza a moverse con velocidad constante v0.
- Si v02/gL<3/2, el extremo P de la escalera permanece en contacto con la pared vertical Fp>0, hasta un ángulo crítico θc tal que Fp=0.
El extremo P estará a una altura yc=L·cos θc sobre el suelo.La velocidad de P será
A partir del instante t=tc en el que θ=θc, el extremo P deja de estar en contacto con la pared vertical.
Movimiento de la escalera cuando deja de estar en contacto con la pared vertical
 | El movimiento es similar al de la varilla que hemos estudiado en la página titulada "Caída de una varilla inclinada", salvo que el punto de contacto con el plano horizontal se mueve con velocidad constante v0 en vez de estar fijo. |
El momento respecto de O, con Fp=0 es mg(L/2)senθ. La ecuación de la dinámica de rotación de la escalera es
Con las condiciones iniciales: en el instante t=tc, θ=θc, dθ/dt=v0/(Lcos θc)
Ejemplos
- Angulo inicial que forma la escalera con la vertical, θ0=30º=π/6 rad
- Velocidad constante de deslizamiento del extremo O que se apoya en el suelo, v0 =1.7 m/s
- Masa de la escalera, m=1
- Longitud de la escalera, L=1
Como v02/gL<3/2, el extremo P de la escalera permanece en contacto con la pared vertical Fp>0, hasta un ángulo crítico θc tal que Fp=0.
La velocidad vy del extremo P de la barra vale
vy=-v0·tanθc vy=-2.38 m/s
El extremo P de la barra se encuentra a una altura sobre el suelo
yc=Lcos θc yc=0.58 m
Ejemplo 2:
- Angulo inicial que forma la escalera con la vertical, θ0=30º=π/6 rad
- Velocidad constante de deslizamiento del extremo O que se apoya en el suelo, v0 =3.5 m/s
Como v02/gL<3/2, el extremo P de la escalera permanece en contacto con la pared vertical Fp>0, hasta un ángulo crítico θc tal que Fp=0.
Como el ángulo inicial θ0 >θc es mayor que el ángulo crítico, la fuerza sobre el extremo P es nula desde el comienzo del movimiento de la escalera
Ejemplo 3:
- Angulo inicial que forma la escalera con la vertical, θ0=30º=π/6 rad
- Velocidad constante de deslizamiento del extremo O que se apoya en el suelo, v0 =4.0 m/s
Como v02/gL>3/2, el extremo P de la escalera deja de estar en contacto con la pared vertical cualquiera que sea el ángulo inicial θ0
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