Conservación del momento lineal y del momento angular en una mesa de aire
Se coloca un disco de masa M y radio R en una mesa de aire. Se dispara un proyectil con una pistola de aire comprimido que queda alojado en el disco a una distancia x de su centro. El centro de masas del sistema formado por el disco y la bala (punto de color azul) se mueve con velocidad Vc. El sistema, además gira con velocidad angular ω alrededor de un eje perpendicular al plano del disco que pasa el c.m..
El sistema formado por la bala y el disco es aislado, la resultante de las fuerzas exteriores es cero, por lo que se verifica simultáneamente el principios de conservación del momento lineal y del momento angular.
- Principio de conservación del momento lineal.
Si la masa de la bala es m y su velocidad es u y el disco de masa M está inicialmente en reposo.mu=(M+m)VcDonde Vc es la velocidad del centro de masas que ahora no coincide con el centro del disco, sino que está situado a una distancia h de su centro
- Principio de conservación del momento angular
Calculamos el momento angular respecto del punto P de impacto de la bala.El momento angular inicial es cero
El momento angular final es la suma del momento angular debido al movimiento de rotación del disco alrededor de une eje que pasa por su centro O y del momento angular orbital de O alrededor del punto P.
La velocidad de O es la suma de la velocidad del c.m. Vc y la velocidad de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. ω×h
El momento angular disco respecto al punto P es
-Ioω+Mx(Vc-ωh)=0
Donde el momento de inercia del disco es Io=MR2/2
Despejamos la velocidad del c.m. Vc de la primera ecuación y la velocidad angular de rotación ω de la segunda.Otra alternativa, es la de calcular el momento angular respecto del centro de masas (c.m.).El momento angular inicial es m(x-h)u
El momento angular final del sistema formado por el disco y la bala incrustada describiendo un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. es
Io+Mh2 es el momento de inercia del disco respecto de un eje que pasa por el c.m. (teorema de Steiner), el otro término es el momento de inercia de la bala. Igualando el momento angular inicial al final, despejamos la velocidad angular de rotación
- La energía perdida en la colisión Q es la diferencia entre las energías cinética final e inicial.
La energía inicial es la energía cinética de la bala.
La energía final es la suma de la energía cinética de traslación del sistema formado por el disco y la bala, y la energía cinética de rotación de dicho sistema alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Ejemplo
- Velocidad inicial de la bala u=1.0 m/s
- Masa de la bala m=0.5 kg
- Masa del disco M=1.5 kg
- Radio del disco R=0.5 m
- Parámetro de impacto de la bala x=0.3
El momento de inercia del disco respecto de un eje perpendicular al disco que pasa por su c.m. es
La posición h del centro de masas del sistema formado por el disco y la bala medido desde el centro del disco es
La velocidad del c.m. Vc y la velocidad angular de rotación ω del sistema formado por el disco y la bala respecto de un eje que pasa por el c.m. valen, respectivamente,
Balance energético de la colisión
Choque de una pelota con un bate de béisbol
 | En la figura, se muestra el esquema del choque entre un bate y una pelota de béisbol. La pelota de masa m y velocidad u, choca contra un bate de masa M y de momento de inercia I respecto de un eje que pasa por su centro de masa. Vc es la velocidad final del c.m. de bate, ω y ω0 son las velocidades angulares inicial y final del bate, x es la distancia desde el c.m. del bate y el punto donde choca la pelota. |
Podemos efectuar una primera aproximación, suponiendo que el bate es una varilla rígida delgada de masa M y longitud L que está suspendida libremente e inicialmente en reposo, y la pelota se comporta como una partícula de masa m que lleva una velocidad u, y que choca con el bate a una altura x medida desde su centro de masas.
 | En la figura de la izquierda, se muestra la situación inicial y en la de la derecha la situación final: la partícula lleva una velocidad v, y la varilla describe un movimiento de rotación alrededor de su centro de masas con velocidad angular ω, y su centro de masas se traslada con velocidad Vc. |
El sistema formado por la partícula y la varilla es aislado, la resultante de las fuerzas exteriores es cero, por lo que son aplicables los principios de conservación del momento lineal y angular.
- Principio de conservación del momento lineal
mu=MVc+mv
- Principio de conservación del momento angular
mu·x=Icω+mv·xdonde Ic=ML2/12 es el memento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m.
Tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas v, ω y Vc.
- El balance energético de la colisión es la diferencia entre las energías cinética final e inicial.
donde Q es la energía perdida en la colisión, una cantidad negativa que indica que la energía final es menor que la inicial.Si el choque es perfectamente elástico Q=0, disponemos de una tercera ecuación que nos permite despejar las tres incógnitas: v, ω y Vc conocida la velocidad u de la partícula incidente. En los demás casos desconocemos el valor de Q.
La definición de coeficiente de restitución e nos proporciona la tercera ecuación
Podemos suponer que la partícula de masa m y velocidad u choca contra una hipotética partícula inicialmente en reposo situada en el bate a una altura x. Después del choque la primera partícula lleva una velocidad v, y la segunda una velocidad Vc+ ω·x, la suma de la velocidad de traslación y rotación.
 |
El coeficiente de restitución e se define v-(Vc+ ω·x)=-e(u-0) |
Si conocemos el dato del coeficiente de restitución e, disponemos de tres ecuaciones con tres incógnitas. Después de algunas operaciones obtenemos
- La velocidad angular ω de rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m.
- La velocidad Vc de traslación del c.m. de la varilla
- La velocidad v de la partícula después del choque
v=-eu+Vc+ω·x
A continuación, podemos calcular las energías de la partícula y de la varilla antes y después del choque.
Choques elásticos
- Conservación del momento lineal
mu=MVc+mv
- Conservación del momento angular
mu·x=Icω+mv·x
- No hay pérdida de energía en el choque
Despejamos la velocidad del c.m. de la varilla Vc y la velocidad angular de la varilla ω.
que es el mismo resultado que hemos obtenido anteriormente con el coeficiente de restitución e=1.
La velocidad angular de rotación podemos escribirla
El valor máximo de la velocidad angular de rotación ω de la varilla no lo obtenemos cuando el parámetro de impacto es el mayor posible x=L/2. El máximo de la función ω(x) se obtiene para
- Si M>2m entonces xm>L/2 lo que no es posible. La velocidad angular ω crece con x alcanzando el valor mayor cuando x=L/2 (curva de color rojo en la figura).
- Si M<2m entonces xm<L/2, (curva de color azul)
Representamos esta función para M=2.5m y M=0.5 m.
En el segundo caso la función presenta un máximo para
Ejemplos
- Velocidad inicial de la partícula u=1.0 m/s
- Masa de la partícula m=0.25 kg
- Masa de la varilla M=1.5 kg
- Longitud de la varilla L=1.0 m
- Coeficiente de restitución e=0.7
- Parámetro de impacto de la partícula x=0.3
El momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su c.m. es
Ecuaciones
- Principio de conservación del momento lineal
0.25·1.0=1.5·Vc+0.25·v
- Principio de conservación del momento angular
0.25·1.0·0.3=0.125ω+0.25v·0.3
- Coeficiente de restitución
v-(Vc+ ω·0.3)=-0.7(1.0-0)
Resolvemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, y calculamos después del choque
- la velocidad de la partícula v=-0.262 m/s,
- la velocidad del centro de masas de la varilla Vc=0.210 m/s,
- la velocidad angular de rotación de la varilla alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su c.m, ω=0.757 rad/s
Balance energético de la colisión
Ejemplo 2:
Cambiamos el coeficiente de restitución e=1
v=-0.485 m/s, Vc=0.247 m/s, ω=0.891 rad/s
Balance energético de la colisión, Q=0
Referencias
Rockefeller R. R. Conservation of angular and linear momentum on an air table. Am. J. Phys. 43 (11) November 1975, pp. 981-983
Cross R. Impact of a ball with a bat or racket. Am. J. Phys. 67 (8) August 1999, pp. 692-694
Lemos N. A. Failure of intuition in elementary rigid body mechanics. Eur. J. Phys. 29 (2008) N1-N4
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