 | En esta página, vamos a estudiar la trayectoria seguida por una bola esférica de masa m y radio R que se pone a rodar sobre una pista horizontal. La velocidad inicial V0, del centro de masas y la velocidad angular de rotación ω0 pueden tener cualquier valor y orientación en dicho plano. |
Ecuaciones del movimiento
Descomponemos el movimiento de la bola en el plano, en dos movimientos.
- A largo del eje X, el c.m. se mueve con velocidad Vx y la bola gira con velocidad angular ωy alrededor de un eje paralelo al eje Y que pasa por su c.m.
- A largo del eje Y, el c.m. se mueve con velocidad Vy y la bola gira con velocidad angular ωx, alrededor de un eje paralelo al eje X que pasa por su c.m
Calculamos las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal
vx=Vx-ωy·R
vy=Vy+ωx·R (1)
vy=Vy+ωx·R (1)
Las fuerzas sobre la bola son
- El peso mg
- La reacción del plano N=mg
- La fuerza de rozamiento en el punto de contacto P, que se opone al la velocidad de dicho punto
Las dos primeras fuerzas no contribuyen al movimiento del cuerpo
- La componente Fx se opone al movimiento de traslación del c.m. y favorece el movimiento de rotación
- La componente Fy se opone al movimiento de traslación del c.m. y al movimiento de rotación
Ecuación del movimiento de traslación del centro de masas
Ecuación de la dinámica de rotación
Para una esfera la fórmula del momento de inercia es Ic=2mR2/5
Trayectoria del centro de masas de la esfera
Derivando las ecuaciones (1) respecto del tiempo t
que se convierten en
La solución de esta ecuación diferencial es
vy=c·vx
donde c es una constante que determinaremos más adelante
La primera ecuación diferencial se escribe
Como la aceleración a lo largo del eje X es constante, la velocidad vx vale
donde v0x es la componente X de la velocidad inicial del punto de contacto P.
La segunda ecuación diferencial se convierte en
Como la aceleración a lo largo del eje Y es constante, la velocidad vy vale
donde v0y es la componente Y de la velocidad inicial del punto de contacto P.
Como vy=c·vx, la constante c vale
Las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal son:
En el instante
las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (vx, vy) se hacen cero, y la bola comienza a rodar sin deslizar.
Conocidas las expresiones de las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (vx, vy), calculamos las componentes de la velocidad de traslación del c.m.(Vx, Vy).
El movimiento de traslación del c.m. es la composición de dos movimientos uniformemente acerados. La componentes de la velocidad del c.m. son
Si la bola parte del origen en el instante t=0, la posición del c.m. en función del tiempo es
Las componentes de la velocidad angular de rotación de la bola son
Si en el instante t=0, las componentes de la velocidad angular de rotación ω, son ω0x y ω0y.
Las componentes la velocidad inicial del punto de contacto P valen (1)
| v0x=V0x-ω0y·R v0y=V0y+ω0x·R |
Movimiento de rodar sin deslizar
En el instante
las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (vx, vy) se hacen cero, y la bola comienza a rodar sin deslizar.
La velocidad del c.m. de la bola en este instante es
Las componentes de la velocidad angular de rotación en este instante son
Ya que Rωrx=-Vry y Rωry=Vry. El vector velocidad angular ω, es perpendicular al vector velocidad de traslación del c.m. V, ya que el producto escalar ω·V=0. La relación ente sus módulos es V=R·ω
La posición del c.m. de la bola en este instante es
El c.m. de la bola sigue un movimiento rectilíneo uniforme cuya dirección es la de la velocidad del c.m.V en dicho instante. La posición del c.m. de la bola en el instante t>tr es
x=xr+Vrx·(t-tr)
y=yr+Vry·(t-tr)
y=yr+Vry·(t-tr)
Ejemplo :
- Velocidad inicial del c.m: V0x=1.0, V0y=1.0
- Velocidad inicial angular de rotación: R·ω0x=2.0, R·ω0y=2.0
- Coeficiente de rozamiento: μ=0.03
Velocidad inicial del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal
v0x=1.0-2.0=-1.0
v0y=1.0+2.0=3.0
v0y=1.0+2.0=3.0
La velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal se hace cero en el instante
- La posición del c.m. de la esfera para t<tr es
- La velocidad del c.m. de la esfera en función del tiempo es
- La velocidad angular de rotación de la esfera en función del tiempo es
En el instante tr=3.07 la velocidad del punto P se hace cero, y la esfera rueda sin deslizar
- La posición del c.m. de la esfera es
x=3.51, y=1.76
- La velocidad del c.m. de la esfera es
Vx=1.286, Vy=0.143
- La velocidad angular de rotación es
R·ωx=-0.143, R·ωy=1.286
Comprobación
La velocidad del punto P es cero
vx=1.286-1.286=0
vy=0.143+(-0.143)=0
vy=0.143+(-0.143)=0
El vector velocidad angular ω y el vector V son perpendiculares. El producto escalar
V·ωR=(1.286i+0.143j)·(-0.143i+1.286j)=1.286·(-0.143)+0.143·1.286=0
La relación entre módulos es V=ω·R
A partir del instante t=3.07, el c.m. de la esfera sigue un movimiento rectilíneo con velocidad constante V, la velocidad angular de rotación ω permanece constante. la posición del centro de la esfera en función del tiempo es
x=3.51+1.286 (t-3.07)
y=1.76+0.143 (t-3.07)
y=1.76+0.143 (t-3.07)
Balance energético
- La energía inicial es
- La energía final es
Se ha perdido a causa del rozamiento Ef-Ei=-0.629·m
Disminuye un poco la energía cinética de traslación en comparación con la energía cinética de rotación.
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