Cuando una pelota de tenis que no tiene velocidad angular inicial choca con el suelo, adquiere una velocidad angular de rotación debido a las fuerzas de fricción entre la pelota y el suelo. Pueden ocurrir dos casos:
- Que la pelota comience a rodar sin deslizar antes de perder el contacto con el suelo.
- Que la pelota comience a deslizar antes de dejar de estar en contacto con el suelo.
Se puede calcular el ángulo de rebote, la velocidad final de la pelota, y su velocidad angular de rotación en términos del ángulo incidente, el coeficiente de restitución y el coeficiente de rozamiento entre la pelota y el suelo.
 | Las fuerzas que actúan sobre la pelota son: el peso mg, la fuerza normal o reacción del suelo N, y la fuerza de rozamiento Fr=μN. Durante el choque el peso mg es despreciable frente a la fuerza normal N. |
Consideremos una pelota de tenis que se deja caer desde un metro de altura, que tiene un coeficiente de restitución de e=0.78 y que el tiempo de contacto de la pelota con el suelo es de Δt=0.005 s. La velocidad de la pelota antes del choque es uy y la velocidad de la pelota después del choque es vy=–e·uy. La aceleración es
mucho mayor que la aceleración de la gravedad g=9.8 m/s2 . Como
may=N-mg
Por tanto, el peso mg se puede despreciar frente a la fuerza normal N.
En general, el bastante complicado el análisis del choque de una pelota con el suelo, ya que la pelota modifica en mayor o menor grado su forma esférica durante el choque. Por otra parte, una pelota no es un cuerpo homogéneo, sino una capa esférica delgada hecha de goma en cuyo interior hay aire a presión. Para evitar estas complicaciones, en esta página vamos a estudiar el choque de un disco indeformable con una pared rígida.
Aunque el objetivo de esta página es la de comprobar la constancia del momento angular en la colisión entre un disco y una pared rígida, para comprender este ejemplo en su totalidad, se recomienda estudiar antes el movimiento general de un sólido rígido.
Modelo simple de choque de un disco con una pared rígida
Definimos el coeficiente de restitución e como
donde v1 y v2 son las velocidades del las partículas después del choque y u1 y u2 las velocidades antes del choque.
 | La partícula 2 es ahora la pared cuya velocidad antes y después del choque es cero u2=v2=0El disco se acerca hacia la pared con una velocidad u1=u·cosq , y se aleja de la pared con una velocidad v1=-v·cosf . |
La relación entre velocidades será
u·senq =v·senf
u·e·cosq =v·cosf .
u·e·cosq =v·cosf .
La relación entre los ángulos de incidencia q y reflexión f es
tanq =e·tanf
Conocido el coeficiente de restitución e y el ángulo de incidencia q calculamos el ángulo de reflexión f . Conocida la velocidad de la partícula incidente u, obtenemos la velocidad de la partícula reflejada v.
Choque de un disco con una pared rígida
La diferencia con el modelo anterior es que ahora el disco puede girar después de su choque con la pared rígida.
 |  |
- De la definición de coeficiente de restitución tenemos
e·u·cosq =v·cosf (1)
- Momento angular respecto de P, punto de contacto con la pared rígida.
Como las fuerzas que ejerce la pared sobre el disco actúan en P. El momento de dichas fuerzas respecto de P es cero. El momento angular respecto de dicho punto será constante.
La constancia del momento angular para un disco de momento de inercia I=mr2/2, que gira con velocidad angular w en el sentido indicado después del choque, se escribe
r·mv·senf +I·w =r·mu·senq
rω=2u·senq -2v·senf (2)
Tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas
- La velocidad del centro del disco después del choque v, y su dirección f
- La velocidad angular de rotación del disco, ω
Precisamos una ecuación más para resolver el problema
El disco no desliza
La velocidad del punto P de contacto entre el disco y la pared es cero.
vP=v·senf -w r=0 (3)
Resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
Estas tres ecuaciones nos permiten determinar la velocidad del disco después del choque v, su velocidad angular de rotación w y el ángulo f que forma con la dirección normal a la pared, con los datos de la velocidad inicial u y del ángulo de incidencia q .
Despejamos rω de la ecuación (3) y sustituimos en la ecuación (2)
v·senf =(2/3)·u·senq
v·cosf =e·u·cosq
v·cosf =e·u·cosq
La velocidad angular de rotación ωr se despeja en las ecuación (3)
w r=(2/3)u·senq .
Balance energético
La energía cinética inicial del disco es
La energía cinética final del disco es
La energía Q perdida en la colisión es
El disco desliza
La pared ejerce sobre el disco dos fuerzas, la reacción N y la fuerza F que se opone a que el disco deslice sobre la pared, y que es de sentido contrario a vP¹ 0, la velocidad del punto de contacto entre el disco y la pared.
La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Dt que el disco está en contacto con la pared modifica la componente normal del momento lineal del disco. De modo análogo el impulso de la fuerza F modifica la componente paralela al plano del momento lineal del disco.
Teniendo en cuenta la relación entre ambas fuerzas, F=m ·N, obtenemos la ecuación que sustituye a (3)
-mv·senf +mu·senq =m (mv·cosf +mu·cosq ) (3)
Resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
Sustituimos v·cosf de la ecuación (1) en la (3)
v·senf =u·senq -m u(1+e)·cosq
v·cosf =e·u·cosq
v·cosf =e·u·cosq
Dividiendo miembro a miembro por la ecuación (1), nos permite establecer la relación entre el ángulo de incidencia q , y el reflejado f
Una vez calculado el ángulo f, despejamos la velocidad angular del disco rω de la ecuación (2)
rω=2u·senq -2v·senf =2m (1+e)·u·cosq
Balance energético
La energía perdida en la colisión Q vale
Ángulo crítico
Cuando el disco no desliza vP=0, la relación entre la fuerza F y la reacción N es desconocida. La relación entre el ángulo reflejado y el incidente como hemos visto es
Cuando el disco desliza vP¹ 0, la relación entre ambas fuerzas es F=m ·N,
El ángulo crítico incidente q c será aquél en la que el disco comienza a deslizar cumpliéndose ambas condiciones a la vez (supondremos que el coeficiente de rozamiento estático y dinámico son iguales). Por tanto,
| tanqc=3m (1+e) |
- Si θ<θc utilizamos las fórmulas deducidas en el apartado el disco no desliza
- Si θ>θc utilizamos las fórmulas deducidas en el apartado disco desliza
Caso particular: Choque elásticos
Cuando m =0 y e=1,
El ángulo crítico qL=0. Para cualquier ángulo incidente q estamos en el caso el disco desliza
- Se cumple que el ángulo incidente es igual al reflejado f =q
- El disco no gira después del choque rω=0
- La energía perdida en el choque Q=0
Ejemplos
En la tabla tenemos los datos correspondientes al coeficiente de rozamiento m y al coeficiente de restitución e.
| Materiales | Coef. restitución e | Coef. de rozamiento m |
| Acero-acero | 0.94 | 0.10 |
| Aluminio-aluminio | 0.61 | 0.12 |
| Latón-latón | 0.57 | 0.11 |
| Acero-latón | 0.65 | 0.10 |
| Aluminio-latón | 0.55 | 0.10 |
| Acero-aluminio | 0.62 | 0.09 |
Fuente: Doménech A, Doménech M.T. Colisiones inelásticas de esferas. Revista Española de Física 4, 3 (1990) págs.52-56.
Elegimos, acero-acero
- m =0.1
- e=0.94
El ángulo crítico es
tanqc=3m (1+e) qc=8.8º
- Ángulo incidente, q =45º
- Velocidad del disco antes del choque, u=3.5
El ángulo q >qc el disco desliza
- El ángulo después del choque se obtiene con la fórmula
El valor de f =40.61º
- Calculamos la velocidad v después del choque mediante
v·cosf =e·u·cosq
Se despeja v=3.06
- La velocidad angular de rotación w (o mejor rw ), se obtiene mediante la relación
rw =2m (1+e)·u·cosq
Se obtiene rw =0.96
Como podemos comprobar la velocidad del punto P de contacto entre el disco y la pared vP=v·senf -rw>0, por tanto, el disco desliza.
- La energía perdida en el choque es la diferencia entre la energía final (de traslación y de rotación) y la inicial (de traslación).
Q=-1.2m
El ángulo q <qc el disco no desliza.
- Ángulo incidente, q =5º
- El ángulo después del choque se obtiene con la fórmula
El valor de f =3.55º
- Calculamos la velocidad después del choque mediante el coeficiente de restitución
v·cosf =e·u·cosq
Se despeja v=3.28
- La velocidad angular de rotación w (o mejor rw ), se obtiene mediante la relación
rw =(2u/3)·senq
rw =0.203
Como podemos comprobar la velocidad del punto P de contacto entre el disco y la pared vP=v·senf -rw=0, por tanto, el disco no desliza.
- La energía perdida en la colisión es
Q=-072·m
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