Momento de inercia de una distribución de masas puntuales
Tenemos que calcular la cantidad
donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de
- Un extremo
- De la segunda masa
- Del centro de masa
 | El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2 |
 | El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2 |
 | El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2 |
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es
I=IC+Md2
- IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa
- I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior
- M es la masa total del sistema
- d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.
IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
Momento de inercia de una distribución continua de masa
Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es
dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías
- Aplicación directa del concepto de momento de inercia
- Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido
Momento de inercia de una varilla
 | Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas. |
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
El momento de inercia de la varilla es
 | Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.  |
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2px y anchura dx, cuya masa es
El momento de inercia del disco es
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es
El momento de inercia del cilindro e
Momento de inercia de una placa rectangular
 | Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa. Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es  |
El momento de inercia de la placa rectangular es
Momento de inercia de un disco
 | Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros. Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchura dx. La masa de este rectángulo es  |
El momento de inercia del disco es
Haciendo el cambio de variable
x=R·cosθ
y=R·senθ
y=R·senθ
Llegamos a la integral
Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros
Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es
La masa de cada uno de los discos es
El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.
Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.
Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.
El momento de inercia del cilindro es
Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.
Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.
El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es
El momento de inercia del sólido en forma de paralepípedo es
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