El en capítulo de Dinámica de la partícula hemos examinado el péndulo balístico, consistente en una bala de masa m y velocidad v que choca contra un bloque de masa M que cuelga del extremo de una cuerda. Para resolver el problema podemos aplicar indistintamente el principio de conservación del momento lineal o del momento angular.
En esta segunda versión, el bloque se sustituye por un cilindro de masa M y de radio r y la cuerda por una varilla rígida de longitud d y de masa despreciable.
El aspecto didáctico más importante de este problema, es la de mostrar la diferencia entre las dos versiones del péndulo balístico: mientras que una masa puntual en movimiento circular no puede tener una velocidad nula en el punto más alto de su trayectoria, un sólido rígido en rotación puede tener una velocidad angular nula.
Fundamentos físicos
En esta versión solamente es aplicable el principio de conservación del momento angular, ya que el sistema no es aislado sin embargo, el momento de las fuerzas exteriores respecto del eje de rotación O es nulo.
Principio de conservación del momento angular
- Momento angular antes del choque
Es el momento angular de la partícula respecto de O.
L=r´ mv
El módulo del momento angular es L=mv·d. Donde d es el brazo del momento angular o distancia entre la dirección de la velocidad y el punto O.
- Momento angular después del choque
Es el momento angular de un sólido rígido formado por la varilla, el cilindro y la bala empotrada, en rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del applet que pasa por O.
L=I0w
El momento de inercia I0 se compone de los siguientes términos:
- Se aplica el teorema de Steiner para obtener el momento de inercia del cilindro de masa M y radio r cuyo eje dista d de O
- Momento de inercia de una masa puntual m que dista d del eje de rotación
- La varilla tiene masa despreciable
Como el momento angular inicial y final son iguales, despejamos la velocidad angular w, justamente después del choque.
El momento lineal del sistema no se conserva
El momento lineal inicial del sistema formado por la bala y el péndulo en reposo es
pi=mv
El momento lineal final del sistema es
pf=(m+M)vf
Como la varilla no tiene masa, y la bala impacta en el centro del cilindro, el centro de masa del sistema está en el centro del cilindro ycm=d. La velocidad final del c.m. del sistema es
vf=ω·d
Para otros casos no tan simples, se calcula el centro de masa del sistema ycm. La velocidad final del c.m. sería vf=ω·ycm
Si el radio r es cero, el cilindro se convierte en una masa puntual M, el momento lineal se conserva Δp=0. El principio de conservación del momento lineal y del momento angular dan los mismos resultados.
Fuerzas interiores y exteriores
Una fuerza horizontal F que actúa en el eje O del péndulo durante el tiempo Δt que dura el choque. El impulso de esta fuerza exterior F produce un cambio en el momento lineal del sistema. Si suponemos que F es constante durante este corto intervalo de tiempo, podemos escribir
F·Δt= Δp
El sentido de F será el indicado en la figura, si el momento lineal aumenta, y el contrario si disminuye.
 | Durante el mismo tiempo Δt, la fuerza interna f que ejerce el cilindro sobre la bala, hace que ésta disminuya su velocidad de v a vf=ω·d. f·Δt= mωd-mv |
Balance energético
- La energía antes del choque es la energía cinética de la bala
- La energía después del choque es la energía cinética del sólido en rotación
La energía perdida en la colisión es la diferencia entre estas dos energías. En la parte izquierda del applet, podemos observar que la mayor parte de la energía cinética de la bala se convierte en energía de deformación cuando la bala se incrusta con el cilindro y solamente, una pequeña parte de la energía inicial se convierte en energía cinética de rotación del sistema formado por la varilla, el cilindro y la bala.
Movimiento después del choque
 | Dinámica de rotaciónDespués del choque tenemos un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo que pasa por O. La ecuación de la dinámica de rotación es M=I0·a M es el momento del peso que actúa en el centro de masa del sólido. Como la varilla tiene masa despreciable y la bala se aloja en el centro del cilindro, el centro de masa del sistema coincide con el centro del cilindro, a una distancia d del eje de rotación. -(M+m)·g·d·senq =I0·a |
Como la aceleración angular no es constante, podemos obtener la posición angular q en función del tiempo, integrando la ecuación diferencial de segundo orden. Sin embargo, es mucho más fácil aplicar el principio de conservación de la energía para obtener información sobre el comportamiento del sólido en rotación.
Principio de conservación de la energía
 | La energía cinética después del choque se convierte en energía potencial Conocido el ángulo q de máxima desviación del péndulo balístico podemos recorrer el camino inverso y calcular la velocidad de la bala antes del choque. |
Puede ocurrir que la velocidad de la bala sea tan grande que el péndulo empiece a dar vueltas. Para que esto ocurra, la energía del péndulo después del choque tiene que ser mayor que la energía potencial del cilindro y de la bala correspondiente a una altura 2d.
Mientras que una masa puntual en movimiento circular no puede tener una velocidad nula en el punto más alto de su trayectoria, un sólido rígido en rotación puede tener una velocidad angular nula. Esta es la diferencia esencial entre las dos versiones del péndulo balístico.
Ejemplos
- Masa de la bala m=0.2 kg
- Velocidad de la bala v=10 m/s
- Masa del cilindro M=1.5 kg
- Radio del cilindro r=3 cm=0.03 m
- Longitud de la varilla d=0.5 m
- Choque. Principio de conservación del momento angular
Momento de inercia I0= 0.426 kgm2
Momento angular inicial 0.2·10·0.5=1 kg·m2/s
Momento angular final I0·w
Conservación del momento angular w =2.35 rad/s
- Movimiento después del choque. Principio de conservación de la energía
La energía cinética después del choque se transforma en energía potencial, cuando se alcanza la máxima desviación del péndulo
Una vez calculado h se obtiene el ángulo de desviación q =30.8º
Ejemplo 2º
Con estos datos, podemos preguntarnos ¿Cuál será la velocidad que deberá llevar la bala para que el péndulo se desplace 180º, se ponga en posición vertical?. Resolvemos el problema en sentido inverso
- Movimiento después del choque. Principio de conservación de la energía
La energía potencial de la bala y cilindro en dicha posición es 1.7·9.8·2·0.5=16.66 J
La energía cinética después del choque será
- Choque. Principio de conservación del momento angular
0.2·v·0.5=I0·w
Despejando v=37.66 m/s
Introducimos este valor en el control de edición titulado Velocidad bala y pulsamos el botón titulado Empieza, observamos que el péndulo llega a la posición vertical sin sobrepasarla. Incrementamos en una centésima la velocidad de la bala v=37.67 m/s y vemos que el péndulo empieza a dar vueltas.
Fuerzas sobre la barra en en eje de rotación
Si la varilla tiene masa despreciable, el centro de masas se encuentra en el centro del cilindro de masa M y radio r, donde también se encuentra alojada la bala de masa m.
En la figura de la izquierda, se muestra las fuerzas sobre el conjunto formado por la barra, el cilindro y la bala. En la figura de la derecha, la descomposición de dichas fuerzas según los ejes que se indican.
Hemos calculado la aceleración angular y la velocidad angular del sistema después del choque cuando la barra forma un ángulo q con la vertical tal como se ve en la figura.
- Ecuación de la dinámica de rotación
I0a =-(M+m)g·d·senq
- Balance energético
Siendo w0 la velocidad angular del sólido inmediatamente después del choque
El centro de masas describe un arco de circunferencia de radio d, por tanto, tiene dos aceleraciones, una tangencial at y otra normal an.
En la figura de la izquierda, se han dibujado las fuerzas sobre el sistema. A la derecha, se ha sustituido el peso por sus componentes y se han dibujado las componentes tangencial y normal de la aceleración. A partir de este esquema, planteamos las ecuaciones del movimiento del centro de masas.
(M+m)·at=Ft-(M+m)g·senq
(M+m)·an=Fn-(M+m)g·cosq
(M+m)·an=Fn-(M+m)g·cosq
Teniendo en cuenta que en un movimiento circular
at=a ·d
an=w 2·d
an=w 2·d
Despejamos Ft y Fn
Ft =(M+m)·a ·d +(M+m)g·senq
Fn =(M+m)·w 2·d +(M+m)g·cosq
Fn =(M+m)·w 2·d +(M+m)g·cosq
La fuerza F sobre la barra en el eje de rotación es
 |  |
Ejemplo
Volvemos al ejemplo 1º
- Masa de la bala m=0.2 kg
- Velocidad de la bala v=10 m/s
- Masa del cilindro M=1.5 kg
- Radio del cilindro r=3 cm=0.03 m
- La longitud de la varilla d=0.5 m
Momento de inercia I0= 0.426 kgm2
- Choque. Aplicando el principio de conservación del momento angular obtuvimos la velocidad angular del sistema después del choque
w0=2.35 rad/s
El problema va a consistir ahora en calcular las fuerzas Ft y Fn en el eje O, cuando el ángulo q =15º.
- Calculamos la aceleración angular a , y la velocidad angular w .
0.426a =-1.7·9.8·0.5 sen15º a =-5.06 rad/s2
- Balance energético
- Calculamos las componentes Ft y Fn de la fuerza en el eje O.
Ft=(M+m)g·senq +(M+m)at= 1.7·9.8·sen15º-1.7·0.5·5.06=0.007 N
Fn (M+m)g·cosq +(M+m)·an =1.7·9.8·cos15º+1.7·0.5·2.042=19.65 N
- La fuerza F sobre la barra en el eje de rotación
Módulo F=19.65 N
Ángulo que forma con el eje X, φ=105º
No hay comentarios:
Publicar un comentario