En esta página, se describe una situación distinta. Los discos giran alrededor de sus respectivos ejes paralelos y se ponen en contacto por sus bordes. Vamos a comprobar que en esta situación no se conserva el momento angular.
Sean dos discos de masas m1 y m2 y radios r1 y r2, que pueden girar alrededor de ejes paralelos que pasan por sus centros, tal como se muestra en la figura.
En la situación inicial, el primer disco gira alrededor de su eje con velocidad angular inicial ω0. El segundo disco está en reposo. Se acercan los dos discos, manteniendo paralelos sus ejes hasta que sus bordes entran en contacto. En el punto de contacto se originan dos fuerzas iguales y de sentido contrario debido al deslizamiento de una superficie sobre de la otra.
También se han dibujado las fuerzas sobre los ejes de cada uno de los discos, necesarias para impedir la traslación de los mismos.
- La fuerza F de color azul en el borde del primer disco, cuyo momento es F·r1 frena el este disco, disminuyendo su velocidad angular de rotación ω1.
- La fuerza F de color rojo en el borde del segundo disco, cuyo momento es F·r2 acelera el este disco, aumentando su velocidad angular de rotación ω2.
Cuando se cumpla la igualdad de las velocidades en el punto de contacto de ambos discos, no habrá deslizamiento entre las dos superficies y los discos girarán con velocidades angulares finales constantes.
Ecuaciones del movimiento
 | La ecuación del movimiento del primer disco de momento de inercia I1 es  |
La velocidad angular disminuye
 | La ecuación del movimiento del segundo disco de momento de inercia I2 es  |
La velocidad angular aumenta (en valor absoluto)
Cuando se cumpla la igualdad de velocidades en el punto de contacto, no habrá deslizamiento entre las superficies.
ω1·r1=-ω2·r2
Los discos girarán alrededor de sus ejes con velocidad angular constante. El tiempo t que tarda en alcanzarse esta velocidad es
Designando por tf este tiempo
La velocidad angular final constante de cada unos de los discos es
Variación del momento angular
El momento angular inicial es Li=I1·ω0
El momento angular final Lf=I1·ω1f+I2·ω2f
Ambos momentos angulares como puede comprobarse no son iguales. La variación de momento angular se puede calcular a partir del impulso angular
Si consideramos a los dos discos como un sistema, observamos dos clases de fuerzas
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 | El momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema no es cero. Ya que dichos momentos los hemos de calcular con respecto de un único punto. Elijamos el centro del primer disco Mext=F·0 -F·(r1+r2)=-F·r1-F·r2 |
El impulso angular, como podemos comprobar, es igual a la variación del momento angular total final menos el inicial.
La consecuencia de que el momento de las fuerzas exteriores no sea cero es que el momento angular total no permanece constante. Habitualmente olvidamos dibujar las fuerzas sobre los ejes de rotación lo equivocadamente nos conduce a aplicar el principio de conservación del momento angular a este sistema.
Balance energético
Energía cinética de rotación, inicial
La energía final
La variación de energía cinética es
Podemos calcular el trabajo del momento de las fuerzas interiores o de interacción entre los discos F iguales y de sentido contrario que actúan en el punto de contacto. Las fuerzas exteriores que actúan en los ejes de los discos no realizan trabajo alguno.
Calculamos mediante las ecuaciones de la Cinemática, el ángulo girado por cada una de las ruedas desde el momento en que entran en contacto hasta el instante tf, en el que las velocidades angulares de los discos se hacen constantes.
Después de hacer algunas operaciones, comprobaremos que el trabajo realizado por las fuerzas interiores es igual a la variación de energía cinética
W=ΔEk
Ejemplos
Ejemplo1:
- Radios de los discos r1=1.0 m, r2=0.5 m
- Masas de los discos m1=1.0 kg, m2=0.8 kg
- Fuerza de rozamiento entre las superficies en contacto, F=0.1 N
- Velocidad angular inicial del disco izquierdo, ω0=2 rad/s
Los momentos de inercia de los discos se calculan mediante la fórmula I=mr2/2, I1=0.5 kg·m2, I2=0.1 kg·m2. Calculamos
- La velocidad angular de cada uno de los discos en función del tiempo
Los discos alcanzan una velocidad angular constante cuando se cumpla queω1·r1=-ω2·r2 (2-0.2·t)·1=-(-0.5·t)·0.5 tf=4.44 sLa velocidad angular final de los discos esω1f=2-0.2·4.44=1.11 rad/s
ω2f=-0.5·4.44=-2.22 rad/s
- El ángulo girado por el primer disco hasta el instante tf =4.44 s es
El ángulo girado por el segundo disco hasta dicho instante es
- Los momentos angulares inicial y final son
Li=I1·ω0=0.5·2=1 kgm2/s
Lf=I1ω1f+I2·ω2f=0.5·1.11+0.1·(-2.22)=0.33 kgm2/sLa variación de momento angular esΔL=Lf-Li=0.33-1=-0.67 kgm2/s
- El momento de las fuerzas exteriores es
Mext= -F·(r1+r2)=-0.1(1+0.5)=-0.15 N·m
- El impulso angular es
Mext·tf=-0.15·4.44=-0.67 kgm2/sEl impulso angular de las fuerzas exteriores es igual a la variación del momento angular.
- La energía cinética inicial es
La energía cinética final esLa variación de energía esΔE=Ef-Ei=-0.44 J
- El trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento en el punto de contacto es
El trabajo de dichas fuerzas es igual a la variación de la energía cinética del sistema formado por los dos discos.
Ejemplo 2:
- Radios de los discos r1=1.0 m, r2=1.0 m
- Masas de los discos m1=1.0 kg, m2=1.0 kg
- Fuerza de rozamiento entre las superficies en contacto, F=0.1 N
- Velocidad angular inicial del disco izquierdo, ω0=2 rad/s
Los momentos de inercia de los discos se calculan mediante la fórmula I=mr2/2, I1=0.5 kg·m2, I2=0.5 kg·m2. Calculamos
- La velocidad angular de cada uno de los discos en función del tiempo
ω1=2-0.2·t
ω2=-0.2·tLos discos alcanzan una velocidad angular constante cuando se cumpla queω1·r1=-ω2·r2 (2-0.2·t)·1=-(-0.2·t)·1 tf=5 sLa velocidad angular final de los discos esω1f=2-0.2·5=1 rad/s
ω2f=-0.2·5=-1 rad/s
- Los ángulos girados por los discos hasta el instante tf =5 s son
θ1f=7.5 rad
θ2f=-2.5 rad
- Los momentos angulares inicial y final son
Li=I1·ω0=0.5·2=1 kgm2/s
Lf=I1ω1f+I2·ω2f=0.5·1+0.5·(-1)=0 kgm2/sLa variación de momento angular esΔL=Lf-Li=0-1=-1 kgm2/s
- El momento de las fuerzas exteriores es
Mext= -F·(r1+r2)=-0.1(1+1)=-0.2 N·m
- El impulso angular es
Mext·tf=-0.2·5=-1 kgm2/sEl impulso angular de las fuerzas exteriores es igual a la variación del momento angular.
- Las energías cinéticas inicial y final
Ei= 1 J
Ef=0.5 JLa variación de energía esΔE=Ef-Ei=-0.5 J
- El trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento en el punto de contacto es
El trabajo de dichas fuerzas es igual a la variación de la energía cinética del sistema formado por los dos discos.
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