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miércoles, 27 de octubre de 2010

Oscilador amortiguado por una fuerza de módulo constante I

El oscilador armónico amortiguado por una fuerza proporcional a la velocidad, tiene las siguientes características esenciales:
  1. La amplitud decrece exponencialmente con el tiempo
  2. El oscilador tarda un tiempo teóricamente infinito en pararse
Sin embargo, el oscilador armónico amortiguado por una fuerza de módulo constante, tiene las siguientes características:
  1. La amplitud decrece una cantidad constante en cada semioscilación
  2. Se para al cabo de un tiempo finito
El oscilador armónico bajo la acción de una fuerza de rozamiento constante, nos permite examinar una vez más, el comportamiento de la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene un módulo constante, pero su sentido es contrario a la velocidad del móvil.
Consideremos un bloque de masa m unido a un muelle elástico de constante k, que desliza sobre una superficie rugosa. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético son respectivamente, μs y μk, con μ=μs = μk.
El origen O se toma como la posición de equilibrio del muelle sin deformar. El bloque se suelta desde la posición x0 a la derecha del origen con velocidad inicial cero.
Vamos a estudiar el comportamiento del sistema desde el punto de vista energético y a continuación, resolveremos las ecuaciones del movimiento.

Análisis energético

El trabajo de la fuerza de rozamiento modifica la energía total (cinética más potencial del bloque).
Vamos a calcular las posiciones del bloque para las cuales, su velocidad es cero. A estas posiciones se denominan de retorno, ya que en ellas el bloque cambia el sentido de su movimiento, hasta que finalmente se para. Como la velocidad en las posiciones inicial y final son nulas, la ecuación del balance energético se escribe
Siendo xi la posición inicial y xf  la final.
Definiremos el parámetro
  1. Posición de partida x0
El bloque se mueve hacia la izquierda si la fuerza que ejerce el muelle kx0 es superior a la de rozamiento μmg. En caso contrario, el bloque permanece en reposo. Supongamos que se cumple μmg≤ kx0 o que α≤1
  1. Posición x1
La ecuación del balance energético se escribe
  • Si 1/2≤α≤1, el bloque no cruzará el origen y x1≥0  será la posición final  
  • Si α<1/2, el bloque cruzará el origen y x1<0 será una posición de retorno
Supongamos que ocurre la segunda situación x1<0 tal como se muestra en la figura
  1. Posición x2
El móvil parte de x1 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que k|x1|≥ μmg,
k(x0-2αx0)≥ μmg o bien, que α≤1/3 en caso contrario, la posición x1 será la final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.
 La ecuación del balance energético se escribe
  • Si 1/4≤α≤1/3, el bloque no cruzará el origen y x2≤0  será la posición final
  • Si α<1/4, el bloque cruzará el origen y x2>0 será una posición de retorno
 Supongamos que ocurre la primera situación x2>0, tal como se muestra en la figura
  1. Posición x3
El móvil parte de x2 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que kx2≥ μmg,
k(x0-4αx0)≥ μmg o bien que α≤1/5, en caso contrario, la posición x3 será la final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.
 La ecuación del balance energético se escribe
  • Si 1/6≤α≤1/5, el bloque no cruzará el origen y x3≥0  será la posición final
  • Si α<1/6, el bloque cruzará el origen y x3<0 será una posición de retorno

Si x3 está en el mismo lado que x2, x3 será la posición final del bloque.
En general.
En general, tendremos que
xn=(-1)n(1-2nα)x0
  • Si 1/(2n)≤α≤1/(2n-1), el bloque no cruzará el origen y xn será la posición final
  • Si α<1/(2n), el bloque cruzará el origen y xn será una posición de retorno
Dado el valor de α, el bloque se detiene en la posición xn tal que
Ejemplo:
  • Sea k =50, m=1, μ=0.7,
  • La posición de partida x0=0.7 con velocidad inicial nula
 El parámetro
  • Verificamos que el bloque no está en reposo kx0≥ μmg, 50·0.7>0.7·1·9.8
Calculamos la posición x1
x1=-x0+2αx0=-0.7+2·0.1372·0.7=-0.4256
que está a la izquierda del origen.
  • Verificamos que k|x1|≥ μmg, 50·0.4256>0.7·1·9.8
Calculamos la posición x2
x2=x0-4αx0=0.1512
que está a la derecha del origen.
  • Verificamos que kx2≥ μmg, 50·0.1512>0.7·1·9.8
Calculamos la posición x3
x3=-x0+6αx0=0.1232
Como x3 está a la derecha del origen, es la posición final del bloque en reposo
Como podemos comprobar
 
se cumple para n=3.

Balance energético

El espacio recorrido por el bloque hasta que se para en la posición x3 es
s3=x0+2|x1|+2x2+|x3| = x0+2(x0-2αx0)+2(x0-4αx0)+(x0-6αx0)
En general,
ya que la suma de n-1 números pares es (n-1)n
El trabajo de la fuerza de rozamiento es
Wr=-μmg·sn=- μmg (1-nα)·(2n·x0)
La variación de energía potencial del bloque unido al muelle es
Ambas cantidades coinciden Wr=ΔE

Ecuaciones del movimiento

Cuando el bloque se mueve hacia la izquierda (v<0), la ecuación del movimiento es
ma=-kx+ μmg,
Cuando el bloque se mueve hacia la derecha (v>0), la ecuación del movimiento es
ma=-kx- μmg,
Escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuación diferencial
Las ecuaciones del movimiento nos recuerdan la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional ±μkg
La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C)  en la ecuación diferencial
(k/m)C=±μkg,     C=±μkmg/k=±αx0
La solución completa de cada una de las ecuaciones diferenciales es
como puede comprobarse por simple sustitución
La velocidad del bloque es en ambos casos es
Las constantes A y φ se determina a partir de las condiciones iniciales
  1. Posición de partida x0
El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0) si la fuerza que ejerce el muelle kx0 es superior a la de rozamiento μmg. En caso contrario, el bloque permanece en reposo
Supongamos que se cumple kx0≥ μmg.
Las condiciones iniciales son: en el instante t=0, la velocidad v=0, y la posición es x=x0.
x0=A1cosφ+αx0
0=A1ω·senφ
La posición del bloque en función del tiempo se escribe
x=A1cos(ωt)+αx0, la amplitud es A1=x0-αx0.
x=(x0-αx0)cos(ωt)+αx0
El bloque se para momentáneamente en la posición x1 cuando v=0
La velocidad se anula en el instante t, cuando ωt=π. La posición del bloque en este instante es
x1=-(x0-αx0)+αx0 =-x0+2αx0
que es el mismo resultado que hemos obtenido en el apartado anterior
  1. Movimiento hacia la derecha v>0
El bloque se mueve hacia la derecha (v>0) siempre que se cumpla que k|x1|≥ μmg . En caso contrario, el bloque permanece en reposo. Supongamos que se cumple esta condición
Las condiciones iniciales son: en el instante ωt=π, la velocidad v=0, y la posición es x1.
x1=A2cos(π+φ)-αx0
0=A2ω·sen(π+φ)
La posición del bloque en función del tiempo se escribe
x=A2cos(ωt)-αx0, la amplitud es A2=-x1-αx0=x0-3αx0
x=(x0-3αx0)cos(ωt)-αx0
El bloque se para momentáneamente en la posición x2 cuando v=0
La velocidad se anula en el instante t, cuando ωt=2π. La posición del bloque en este instante es
x2=A2-αx0 =x0-4αx0
que es el mismo resultado que hemos obtenido en el apartado anterior
Se continúa el proceso hasta que el bloque se detiene

Resumen

El bloque tarda el mismo tiempo en describir cada una de las oscilaciones. Su periodo es
  • En la primera semioscilación v<0, la posición del bloque en función del tiempo es
x=(x0-αx0)cos(ωt)+αx0,  . 
  • En la segunda semioscilación v>0, la posición del bloque en función del tiempo es
x=(x0-3αx0)cos(ωt)-αx0
  • En la semioscilación n, la posición y la velocidad del bloque en función del tiempo es
x=x0(1-(2n-1)α)cos(ωt)-(-1)nαx0
v=-x0(1-(2n-1)α)ωsen(ωt)
El bloque describe un MAS cuya  amplitud permanece constante durante cada semiperiodo de la oscilación.
La amplitud disminuye una cantidad constante 2αx0 entre dos semiperiodos consecutivos.
Los desplazamientos se sitúan entre un par de líneas rectas con pendiente ±4αx0/P (lo que puede compararse con las envolventes exponenciales en el caso del rozamiento viscoso)
La velocidad del bloque se hace cero en los instantes tn=n·π/ω   n=1, 2, 3,..
Ejemplo:
  • Sea k =50, m=1, μ=0.7
La frecuencia angular ω=7.07 rad/s, y el periodo P=0.89 s
  • La posición de partida x0=0.7 con velocidad inicial nula
  1. Verificamos que el bloque no permanece en reposo kx0≥ μmg, 50·0.7>0.8·1·9.8
La amplitud de la primera semioscilación es A1=x0-αx0 =0.5628
El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0). La posición del bloque en función del tiempo t es
x=0.5628·cos(7.07·t)+0.1372
La velocidad del bloque es
v=-0.5628·7.07·sen(7.07·t)
La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=π, t=0.44
Calculamos la posición x1 en este instante, x1=-0.5628+0.1372=-0.4256
que está a la izquierda del origen.
  1. Verificamos que k|x1|≥ μmg, 50·0.4256>0.7·1·9.8, el bloque se mueve hacia la derecha
La amplitud de la segunda semioscilación es
A2=A1-2αx0 =0.2884
El bloque se mueve hacia la derecha (v>0). La posición del bloque en función del tiempo t es
x=0.2884·cos(7.07·t)-0.1372
La velocidad del bloque es
v=-0.2884·7.07·sen(7.07·t)
La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=2π, t=0.89
Calculamos la posición x2 en este instante, x2=0.2884-0.1372=0.1512
que está a la derecha del origen.
  1. Verificamos que kx2≥ μmg, 50·0.1512>0.7·1·9.8. El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0)
La amplitud de la tercera semioscilación es
A3=A2-2αx0=0.014
El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0). La posición del bloque en función del tiempo t es
x=0.014·cos(7.07·t)+0.1372
La velocidad del bloque es
v=-0.014·7.07·sen(7.07·t)
La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=3π, t=1.33
Calculamos la posición x3 en este instante, x3=-0.014+0.1372=0.1232
que está a la derecha del origen.
Como x3 está a la derecha del origen, es la posición final del bloque en reposo

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2 comentarios:

  1. Anónimo1 de noviembre de 2010, 18:13

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  2. Anónimo9 de noviembre de 2011, 16:20

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