Movimiento bajo la acción de fuerzas centrales. Conservación del momento angular

En esta página, se simula una experiencia de laboratorio que nos muestra la conservación del momento angular. Consta de una varilla horizontal que supondremos de masa despreciable que gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro con velocidad angular ω. A lo largo de la varilla, deslizan sin rozamiento dos masas puntuales iguales.

Las partículas deslizantes, de masa m/2 cada una, están unidas mediante cuerdas a un bloque de masa M que cuelga, tal como se muestra en la figura.

Inicialmente, se fijan las masas puntuales a una distancia r₀ del eje de rotación y el sistema gira con velocidad angular ω₀. Se liberan las masas deslizantes mediante algún dispositivo y se observa el movimiento del sistema.

Momento angular

El momento angular inicial es el producto del momento de inercia por la velocidad angular ω₀. El momento de inercia es la suma del momento de inercia de la varilla que supondremos despreciable y el de las dos masas deslizantes iguales que distan r₀ del eje de rotación

 

El momento angular, cuando las masas deslizantes se encuentran a una distancia r del eje de rotación, vale

L=mω²r

Como las fuerzas que actúan sobre el sistema pasan por el eje de rotación. La constancia del momento angular implica que cuando las masas deslizantes se alejan del eje de rotación la velocidad angular ω disminuye y cuando se acercan ω aumenta.

Movimiento de las masas deslizantes

Para estudiar el movimiento de las dos masas deslizantes y del bloque que cuelga, nos situamos en el Sistema de Referencia no inercial que gira con la varilla con velocidad angular ω. Consideremos el sistema formado por una masa deslizante situada a una distancia r del eje de rotación y medio bloque que cuelga. El bloque que cuelga ejerce una fuerza Mg/2 La fuerza centrífuga Fc=(m/2)ω2r. Bajo la acción de estas fuerzas, las masas deslizantes experimentan una aceleración a=d2r/dt2 en la dirección radial, a lo largo de la varilla; el bloque se mueve verticalmente con la misma aceleración. La segunda ley de Newton se escribe

 

Resolvemos esta ecuación diferencial mediante procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la velocidad radial de la masa deslizante es dr/dt=0, y su distancia al eje r=r₀.

Conocida la distancia r de las masas deslizantes al eje de rotación en el instante t, se calcula la velocidad angular ω de rotación sabiendo que el momento angular L permanece constante.

La posición de equilibrio r_e, cuando la fuerza neta sobre la masa deslizante es cero, es

Curvas de energía potencial

La energía inicial del sistema, cuando las masas se encuentran sujetas, es la suma de

• la energía cinética de las dos masas deslizantes que se mueven con velocidad tangencial ω₀·r₀.
• la energía potencial del bloque de masa M que está a una altura r₀ sobre el origen.

Al cabo de un cierto tiempo t, las masas deslizantes distan r del eje de rotación, y la varilla gira con velocidad angular ω=dθ/dt. Cada una de las masas lleva una velocidad en la dirección radial v_r=dr/dt y en la dirección tangencial v_θ=r(dθ/dt). El bloque se mueve con velocidad v_r=dr/dt. La energía total del sistema es

• El primer término, es la energía cinética del bloque
• El segundo término, es la energía cinética de las masas deslizantes
• El tercer término, es la energía potencial del bloque que cuelga

Teniendo en cuenta que el momento angular es constante, podemos escribir la energía E del sistema en función de r y de su derivada dr/dt,

Si dividimos la energía E entre las dos masas iguales, podemos considerar que cada una de ellas se mueve en un potencial efectivo

La fuerza resultante sobre cada una de las masas se obtiene derivando la energía potencial y cambiando de signo.

que como vemos es la diferencia entre la fuerza centrífuga y la fuerza que ejerce el medio bloque que cuelga.

En la figura, vemos la representación gráfica de la energía potencial efectiva V_ef(r) cuando las  masas deslizantes salen de la posición inicial r₀, con velocidad radial nula dr/dt=0. Si su energía total es E (recta horizontal), las masas llegan a la posición de retorno r₁ al cabo de un cierto tiempo, cambian el sentido de la velocidad radial y regresan a la posición r₀, oscilando con un determinado periodo.

La posición de retorno r₁ se calcula resolviendo la ecuación V_ef(r)=E

Como una de las raíces es r₀, la ecuación cúbica se transforma en una ecuación de segundo grado

La raíz positiva de la ecuación de segundo grado es

Como vemos en la figura, la curva de la energía potencial efectiva presenta un mínimo, en la posición r_e. Este mínimo se obtiene igualando la derivada primera de V_ef(r)  a cero, es decir, cuando f(r)=-dV_ef(r)/dr=0

Ejemplo

• Masa de las partículas deslizantes m/2=0.5 kg
• Masa del bloque que cuelga M=0.5 kg
• Velocidad angular inicial de rotación ω₀=1.0 rad/s
• Las masas deslizantes se liberan cuando su distancia al eje de rotación es r₀=0.6 m

Momento angular

La energía del sistema es

Posición de equilibrio es

Posición de retorno dr/dt=0 de las masas deslizantes es

La velocidad angular ω₁ de rotación cuando las masas deslizantes se encuentran en esta posición es

Las masas deslizantes oscilan entre las posiciones r₀ y r₁.