La mayor parte de los libros de texto, cuando introducen el principio de conservación del momento angular, mencionan que un patinador aumenta su velocidad angular de rotación al acercar sus brazos y sus piernas al cuerpo. Despreciando la fuerza de rozamiento entre los patines y el hielo, no hay momento de las fuerzas exteriores.
Para un sólido rígido que gira alrededor de un eje principal de inercia L=I·ω.
 | El aumento de la velocidad angular se explica por la disminución del momento de inercia. El principio de conservación del momento angular para el patinador se escribe I1·ω1=I2·ω2 Como el momento de inercia I2<I1 por estar los brazos más cerca del eje de rotación del cuerpo, la velocidad angular se incrementa ω2>ω1. |
Conservación del momento angular
En esta página, se describe un modelo de patinador, consistente en un sistema formado por una varilla rígida y dos masas que pueden deslizar sin rozamiento a lo largo de la varilla. La varilla representa el cuerpo, y las masas deslizantes los brazos y las piernas, la acción de los músculos se representa por medio de dos muelles que unen los extremos de la varilla con cada una de las masas deslizantes. El sistema puede girar alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por su centro.
 | En la figura, vemos el sistema formado por
|
Inicialmente, el sistema gira alrededor del eje que pasa por O, con velocidad angular constante ω0. Un dispositivo mantiene sujetas las dos masas deslizantes a una distancia r0 del eje. Vamos a determinar la velocidad angular de rotación cuando se liberan las dos masas deslizantes.
El momento angular inicial es
- el primer término entre paréntesis Iv, es el momento de inercia de la varilla Iv=M(2R)2/12= MR2/3,
- el segundo término, es el momento de inercia de las dos masas iguales m/2 que distan r0 del eje de rotación.
El momento angular final, cuando las dos masas deslizantes se encuentran en el origen r=0, es
L=Iv·ω
Al disminuir el momento de inercia, aumenta la velocidad angular de rotación ω>ω0.
Movimiento de las masas deslizantes
Vamos a estudiar el movimiento de las dos masas deslizantes, desde el estado inicial al final.
Nos situamos en el Sistema de Referencia no inercial que gira con la varilla con velocidad angular ω. Sobre cada una de las masas (m/2), situadas a una distancia r del eje de rotación, se ejercen las siguientes fuerzas:
 |
Bajo la acción de estas fuerzas la masa m/2 experimenta una aceleración a en la dirección radial, a lo largo de la varilla |
La segunda ley de Newton se escribe
Ahora bien, la velocidad angular de rotación ω, no es constante, su dependencia con r se obtiene de la conservación del momento angular L=(Iv+mr2)ω,
La ecuación diferencial que describe el movimiento de una masa en la dirección radial, es decir, en el Sistema de Referencia que se mueve con la varilla es
Integramos esta ecuación diferencial mediante procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la velocidad radial de la masa dr/dt=0, y su distancia al eje r=r0.
Curvas de energía potencial
La energía inicial del sistema, cuando las masas se encuentran sujetas, es la suma de
- la energía cinética de las dos masas que se mueven con velocidad tangencial ω0·r0.
- la energía cinética de rotación de la varilla que se mueve con velocidad angular ω0
- la energía elástica almacenada en los dos muelles comprimidos r0.
La suma de los dos primeros términos, es la energía cinética de rotación del sistema formado por la varilla y las dos masas.
Cuando se liberan las dos masas y se encuentran a una distancia r del eje de rotación. La energía del sistema formado por la varilla, las dos masas y los dos muelles elásticos iguales, se escribe en coordenadas polares
- El primer término, es la energía cinética de las dos masas, que consta a su vez de dos términos:
- El segundo término, es la energía cinética de rotación de la varilla
- El tercer término, es la energía elástica almacenada en los dos muelles
Teniendo en cuanta que el momento angular es constante, podemos escribir la energía E del sistema en función de r y de su derivada dr/dt,
Dividimos la energía E entre las dos masas iguales, podemos considerar que cada una de ellas se mueve en un potencial efectivo
La fuerza resultante sobre cada una de las masas se obtiene derivando la energía potencial y cambiando de signo.
que como vemos es la diferencia entre la fuerza centrífuga, y la fuerza que ejerce el muelle comprimido.
En la figura, tenemos la representación del potencial efectivo de las dos masas que salen de la posición inicial r0, con velocidad radial dr/dt=0. Si su energía total es E (recta horizontal), las masas llegan al origen r=0 al cabo de un cierto tiempo.
 | Cuando las masas están a una distancia r del origen, se representa mediante un segmento vertical rojo su energía potencial efectiva y mediante un segmento de color azul, la energía cinética correspondiente a su movimiento en la dirección radial, a lo largo de la varilla. |
Observaremos que la velocidad angular de rotación ω, crece hasta que se hace máxima cuando las masas se pegan al eje.
 | En la figura, tenemos una situación distinta, las masas salen de la posición inicial r0, con velocidad radial dr/dt=0. Si su energía total es E, no alcanzan el eje de rotación, sino que se aproximan al mismo a una distancia r1, cambian el sentido de la velocidad, se alejan del eje hasta que alcanzan la posición inicial de partida y así, continúan oscilando en la dirección radial. |
Observaremos que la velocidad angular de rotación ω, crece hasta que se hace máxima cuando las masas se acercan al eje y luego, disminuye cuando se alejan del eje.
La distancia r1 la podemos calcular poniendo dr/dt=0 en la expresión de la energía total E. Obtenemos una ecuación de cuarto grado en r que podemos reducir a una ecuación de segundo grado, cuyas soluciones son r0 y r1. Véase el ejemplo 2 más abajo.
 | Si la constante elástica, k es pequeña y las masas son grandes, cuando se liberan, se mueven alejándose del eje central hasta que llegan a los extremos de la varilla. |
Ejemplos
Ejemplo 1:
- Masa de los dos bloques m=0.5 kg
- Constante de cada muelle k=1 N/m
- Distancia inicial al eje de rotación r0=0.6 m
- El momento de inercia de la varilla Iv=1/12 kg·m2
- La velocidad angular inicial de rotación es ω0= 1 rad/s
Observamos que al cabo de un cierto tiempo, las masas se quedan pegadas al eje de rotación
- El momento angular inicial es
L=(1/12+0.5·0.62)·1=0.263 kg·m2/s
- El momento angular final es
L=(1/12)·ωLa velocidad angular final de rotación es ω=3.16 rad/s
Ejemplo 2:
Con los mismos datos del ejemplo anterior, cambiamos el momento angular, variando la distancia al eje de rotación de las dos masas r0=0.9.
- El momento angular inicial es
L=(1/12+0.5·0.92)·1=0.488 kg·m2/s
La energía del sistema formado por las dos masas, la varilla y los dos muelles es
Las dos masas se mueven hacia el origen, pero retroceden cambiando el sentido de su velocidad radial cuando se encuentran a la distancia r1 que se calcula poniendo dr/dt=0 en la expresión de la energía total E en función de r.
Después de algunas operaciones, nos queda la ecuación
2mkr4+2(Ivk-mE)r2+L2-2IvE=0
Con los datos de este ejemplo
r4-0.8875r2+0.0628=0
Sustituyendo x=r2 tenemos una ecuación de segundo grado cuyas raíces son x1=0.81, y x2=0.0775, o sus correspondientes r1=0.9, y r2=0.28.
- La velocidad angular ω de rotación es máxima para r=0.28 m
L=(1/12+0.5·0.282)·ωde la constancia del momento angular se obtiene ω=3.98 rad/s
Ejemplo 3:
- Masa de los dos bloques m=2 kg
- Constante de cada muelle k=0.2 N/m
- Distancia inicial al eje de rotación r0=0.6 m
Observamos que las dos masas se alejan del eje, hasta que llegan a los extremos de la varilla.
- El momento angular inicial es
L=(1/12+2·0.62)·1=0.803 kg·m2/s
- El momento angular final para r=1 m
L=(1/12+2·12)·ωLa velocidad angular final de rotación es menor que la inicial ω=0.39 rad/s
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