Esta página es interesante para aquellos lectores a los que les guste
- realizar operaciones con funciones trigonométricas,
- calcular derivadas de una función,
- límites,
- simplificar expresiones,
- obtener una expresión más simple para casos particulares de otra general más compleja.
Solución de la ecuación diferencial
La ecuación diferencial que describe las oscilaciones forzadas es
- donde ω0 es la frecuencia natural o propia del oscilador
- ωf es la frecuencia angular de la fuerza oscilante de amplitud F
- γ es la constante de amortiguamiento, γ<ω0
La solución general de la ecuación diferencial homogénea tiene la forma
Donde los coeficientes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales
Una solución particular de la ecuación diferencial completa tiene la forma
x2=Acos(ωf t)+Bsen(ωf t)
Obtendremos los valores de A y B haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa
La solución general de la ecuación diferencial completa es la suma de la solución general de la homogénea más la solución particular x=x1+x2.
El primer término, describe el estado transitorio que desaparece al cabo de cierto tiempo (teóricamente infinito) y depende de las condiciones iniciales. El segundo término, describe el estado estacionario.
La velocidad vale
Si las condiciones iniciales son t=0, x=x0, v=v0.
Las condiciones iniciales más sencillas son x=0, y dx/dt=0 en el instante t=0. La partícula de masa m parte del origen con velocidad inicial nula.
La posición de la partícula x que experimenta una oscilación forzada en función del tiempo t es
Vamos a obtener expresiones más simples para casos particulares.
No hay rozamiento γ=0
Vamos a estudiar dos casos, cerca de la frecuencia de la resonancia y en la resonancia
Cerca de la resonancia ωf=ω0+ε con ε< ω0
Si no hay rozamiento, la frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω, es igual a la de la oscilación libre, ω0. Como la diferencia ε entre la frecuencia ωf de la fuerza oscilante y la de resonancia ω0 es pequeña, se puede hacer la siguiente aproximación
Empleando la siguiente relación trigonométrica
se obtiene finalmente,
La amplitud (el producto de los dos primeros términos) y la frecuencia de las pulsaciones se determinan por el grado de cercanía a la frecuencia de resonancia tal como se puede apreciar en las figuras.
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En la resonancia ωf=ω0
En la fórmula del desplazamiento x(t) tomamos el siguiente límite
La amplitud crece linealmente con el tiempo, como puede verse en la figura
Cuando hay rozamiento
Vamos a estudiar dos casos, cerca de la frecuencia de la resonancia y en la resonancia. Comprobaremos que el sistema llega a oscilaciones estables al cabo de un cierto tiempo t del orden de 1/γ.
Cerca de la resonancia ωf=ω0+ε con ε< ω0
Si la constante de amortiguamiento γ es pequeña, la frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω es casi igual a la de la oscilación libre ω0, de modo que ω≈ω0. Como la diferencia ε entre la frecuencia ωf de la fuerza oscilante y la de resonancia ω0 es pequeña, se puede hacer la siguiente aproximación
La solución de la ecuación diferencial completa con estas aproximaciones nos queda.
Cambiando el orden de los términos
Podemos escribir la suma de seno y coseno de los términos entre paréntesis de la siguiente modo
y de modo similar, el segundo término entre paréntesis de frecuencia angular ωf.
Tenemos la composición de dos MAS de frecuencias casi iguales ω0 y ωf, uno de amplitud variable exp(-γt) y el otro de amplitud constante 1.
Mediante diagramas vectoriales podemos obtener el MAS resultante cuya frecuencia angular es aproximadamente ω0, y cuya amplitud es la diagonal del paralelogramo de la figura de la derecha.
la fase de la oscilación φ(t) varía lentamente con el tiempo. La amplitud, la raíz cuadrada que multiplica a la función seno, varía lentamente con la diferencia de frecuencias ε= ωf-ω0, alrededor del valor medio
La amplitud de la oscilación se acerca paulatinamente a este valor medio a medida que transcurre el tiempo tal como se puede ver en la figura. Durante el estado transitorio, la amplitud puede alcanzar valores de hasta casi dos veces la amplitud de las oscilaciones estables.
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En la figura de la derecha, se observa la energía total E del oscilador (suma de cinética y potencial) en función del tiempo. La representación gráfica nos sugiere que la energía del oscilador se describe mejor en términos de valores medios durante el periodo de una oscilación. El valor medio de la energía tiende hacia un valor constante cuando t se hace grande.
En la resonancia ωf=ω0
En la fórmula del desplazamiento x(t) se simplifica notablemente
la amplitud crece lentamente, hasta que se acerca al valor asintótico, 
determinado por el coeficiente de rozamiento, tal como puede verse en la figura.
determinado por el coeficiente de rozamiento, tal como puede verse en la figura. |  |
En la figura de la derecha, observamos la representación del la trayectoria de la partícula en el espacio de las fases, el espacio x-v (posición-velocidad). La partícula sale del origen y describe una espiral que tiende hacia una elipse límite, que se alcanza en el estado estacionario.
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