El movimiento de caída de un lápiz nos muestra que la ecuación del movimiento
donde el momento angular L y y el momento de las fuerzas exteriores M se evalúan en el punto O de contacto del lápiz con el suelo no es correcta, ya que O no está en reposo con respecto a un sistema inercial de referencia.
Tenemos que usar la ecuación
que es válida incluso si el centro de masas (c.m.) no está en reposo con relación al sistema inercial de referencia
Ecuación del movimiento
 | Las fuerzas sobre el lápiz son:
|
La posición del c.m. es
y=(L/2)cosθ
La velocidad del c.m. es
Ecuación del movimiento del centro de masas
que podemos escribir en términos del ángulo θ
(1)La ecuación del movimiento de rotación alrededor del c.m. es
(2)Donde Ic=mL2/12 es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el c.m.
Eliminando la reacción N de las ecuaciones (1) y (2), obtenemos una ecuación diferencial que se resuelve por procedimientos numéricos
con las condiciones iniciales: t=0, θ= θ0, dθ/dt=0.
Una vez calculado el ángulo θ en el instante t, la altura y del c.m. vale y=(L/2)cosθ.
Aproximación
Cuando el lápiz está en posición casi vertical, el ángulo θ es pequeño, y la velocidad dθ/dt es pequeña, la ecuación diferencial se puede escribir
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma
Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales t=0, θ= θ0, dθ/dt=0.
θ=θ0·cosh(k·t)
Si kt es grande, el coseno hiperbólico se puede aproximar a cosh(kt)≈exp(kt)/2, despejamos el tiempo t.
Por ejemplo si L=1 m, θ0=0.0001 rad y θ=0.1 rad, el tiempo t=0.99 s.
Balance energético
La energía cinética del lápiz es la suma de la energía de cinética de rotación alrededor del c.m. más la energía de traslación del c.m.
La energía potencial del c.m. es
Ep=mgy=mg(L/2)cosθ
La suma de ambas contribuciones es la energía total, que es la energía potencial inicial del lápiz
Derivando con respecto del tiempo,
despejamos d2θ/dt2 y volvemos a obtener de nuevo la ecuación del movimiento.
En la posición final θ=π/2, la energía potencial del c.m. es nula, y la energía cinética se reparte del siguiente modo:
- una cuata parte para la energía cinética de rotación
- tres cuartas partes para la de traslación del c.m.
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