Una caja que puede volcar

Un bloque de masa m, de dimensiones a y h desliza sin rozamiento con velocidad constante v a lo largo de una pista horizontal. En un momento dado el bloque choca contra un obstáculo puntual O situado en la pista. El bloque describe un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por O.

Fundamentos físicos

De nuevo tenemos un ejemplo de aplicación del principio de conservación del momento angular. El sistema formado por el bloque y el obstáculo puntual O no es aislado. Sin embargo, la fuerza exterior que actúa en O tiene un momento nulo, por lo que el momento angular respecto de O es constante.

Momento angular antes del choque

Es el momento angular del bloque respecto de O es equivalente al momento angular de una partícula de masa m situada en el centro de masas del bloque y que se mueve con velocidad v.

L=r´ mv. El módulo del momento angular es L=mv·h/2

Momento angular después del choque

De las tablas de momentos de inercia de sólidos tomamos la fórmula del momento de inercia de un bloque rectangular de masa m y de dimensiones a y h respecto de un eje perpendicular al plano del rectángulo y que pasa por su centro. La dimensión del bloque perpendicular al plano del rectángulo considerado no interviene en el problema

Para calcular el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior y que pase por el vértice O aplicamos el teorema de Steiner I_O=I_c+md²

El momento angular de este rectángulo rígido que gira alrededor de un eje perpendicular al plano del rectángulo y que pasa por O es

L=I₀·w

Principio de conservación del momento angular

Aplicando el principio de conservación del momento angular, despejamos la velocidad angular w del bloque rectangular, justamente después del choque.

Balance energético

Energía perdida en la colisión

• La energía antes del choque, es la energía cinética de traslación del bloque
• La energía después del choque, es la energía cinética de rotación del bloque alrededor del eje que pasa por O,

La energía perdida en la colisión es la diferencia entre estas dos energías. En la parte superior del applet, podemos observar que la mayor parte de la energía cinética inicial del bloque se pierde en la colisión con el obstáculo puntual O y solamente, una pequeña parte de la energía inicial se convierte en energía cinética de rotación del bloque después del choque

Movimiento después del choque

Ecuación de la dinámica de rotación

Después del choque tenemos un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo que pasa por O. La ecuación de la dinámica de rotación es M=I₀·a

M es el momento del peso que actúa en el centro de masa del bloque, (véase una figura un poco más abajo)

mgd·cos(q +f )

donde f es el ángulo que forma la diagonal con la base del rectángulo tanf =h/a, y q  es el ángulo que se levanta la base del rectángulo.

La ecuación de la dinámica de rotación se escribe

-mgd·cos(q +f )=I₀·a

como la aceleración angular no es constante podemos obtener la posición angular q  en función del tiempo, integrando la ecuación diferencial de segundo orden.

Principio de conservación de la energía

Sin embargo, es mucho más fácil aplicar el principio de conservación de la energía para obtener información sobre el comportamiento del sólido en rotación.

En la figura de la derecha, el punto rojo inferior representa la posición del c.m. en el instante inicial q =0, y el punto rojo superior representa la posición del c.m. cuando la base de la caja ha girado un ángulo q. La diferencia de alturas entre la posición inicial y final del c.m. es h.

Podemos calcular el ángulo máximo q  que se levanta la base inferior por encima del suelo.

La energía cinética después del choque se convierte en energía potencial

Puede ocurrir que la velocidad del bloque sea tan grande que el ángulo q , sobrepase el valor máximo que hace que el centro de masas pase por encima de O. Entonces el bloque cae hacia el otro lado.

Como vemos este ángulo máximo es tal que q +f =p /2 ó 90ºPara que esto ocurra, la energía cinética de la caja después del choque tiene que ser mayor que la energía potencial del bloque correspondiente a una altura de su c. m. igual a d.

Ejemplos:

Ejemplo 1º:

• Masa del bloque, m=0.2 kg
• Velocidad del bloque, v=2.2 m/s
• Altura del bloque, h=50 cm
• Anchura del bloque, a=50 cm

1. Choque. Principio de conservación del momento angular

Distancia d del c. m. al vértice del rectángulo
Momento de inercia I₀= 0.033 kgm²
Momento angular inicial L=0.2·2.2·0.25=0.11 kg·m²/s
Momento angular final L=I₀·w
Conservación del momento angular: w =3.3 rad/s

2. Movimiento después del choque. Principio de conservación de la energía

La energía cinética después del choque se transforma en energía potencial, cuando se alcanza el ángulo máximo girado por la base del bloque.

A partir de la altura h a la que se eleva el centro de masas, podemos obtener el ángulo que ha girado el bloque alrededor del eje que pasa por el vértice O.
h=d·sen(q +f )-d·senf , con f =45º por ser cuadrada la forma del bloque. Despejamos ángulo q =30.7º

Ejemplo 2º

Resolviendo el problema en sentido inverso podemos calcular la velocidad del bloque para que realice un giro completo.

1. Movimiento después del choque. Principio de conservación de la energía

con f =45º por ser cuadrada la forma del bloque
Obtenemos la velocidad angular después del choque, w =3.49 rad/s

2. Choque. Principio de conservación del momento angular

m·v·h/2=I₀·w
Obtenemos la velocidad del bloque v=2.326 m/s.

Introducimos este valor en el control de edición titulado Velocidad inicial y pulsamos el botón titulado Empieza, observamos que el c.m. de la caja alcanza la posición vertical sin sobrepasarla. Si incrementamos un poquito más la velocidad v se completa el giro.

Fuerzas sobre la caja en el eje de rotación

Hemos calculado la aceleración angular y la velocidad angular del sistema después del choque cuando la caja forma un ángulo q  con la vertical tal como se ve en la figura (más abajo).

• Ecuación de la dinámica de rotación

I₀a =-mg·d·cos(q +f )

• Balance energético

Siendo w₀ la velocidad angular de la caja inmediatamente después del choque con el obstáculo O

El centro de masas describe un arco de circunferencia de radio d, por tanto, tiene dos aceleraciones, una tangencial a_t y otra normal a_n.

En la figura de la izquierda, tenemos dibujadas las fuerzas sobre la caja, en la figura central las aceleraciones. A partir de estos esquemas, planteamos las ecuaciones del movimiento del centro de masas.

m·a_x=-F_x
m·a_y=F_y-mg

Hallamos las componentes a_x y a_y de la aceleración (tercera figura)

a_x=a_t·sen(q +f ) +a_n·cos(q +f )
a_y=a_t·cos(q +f ) -a_n·sen(q +f )

Teniendo en cuenta que en un movimiento circular

a_t=a ·d
a_n=w ²·d

Despejamos F_x y F_y

F_x=-m· d·(a ·sen(q +f ) +w²·cos(q +f ))
F_y =m·d·(a ·cos(q +f ) -w²·sen(q +f ))+mg

Ejemplo

Volvemos sobre el ejemplo 1º

• Masa del bloque, m=0.2 kg
• Velocidad del bloque, v=2.2 m/s
• Altura del bloque, h=50 cm
• Anchura del bloque, a=50 cm

Por ser una caja cuadrada f =45º,

Momento de inercia I₀= 0.033 kgm²

1. Choque. Aplicamos el principio de conservación del momento angular para obtener la velocidad angular de la caja inmediatamente después del choque.

w₀=3.3 rad/s

El enunciado del problema es ahora: calcular los valores de las fuerzas F_x y F_y cuando el ángulo girado por el bloque sea q =15º.

1. Calculamos la aceleración angular a , y la velocidad angular w .

2. Balance energético

3. Finalmente, calculamos las componentes de la fuerza sobre la caja en el eje O.