Escalera apoyada en dos paredes perpendiculares
Estática
Supongamos una escalera homogénea de masa m y longitud L apoyada en dos paredes perpendiculares. Las fuerzas sobre la escalera son las que se ha dibujado en la figura.
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La situación de equilibrio solamente nos proporciona tres ecuaciones (dos para las fuerzas y una para los momentos), sin embargo, tenemos cuatro incógnitas, el problema es indeterminado.
Para resolver el problema tenemos que suponer por ejemplo que Fy=0, en la pared vertical no hay rozamiento.
 | Cuando la escalera forma un ángulo θ con la vertical las ecuaciones de equilibrio son:
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- El momento de las fuerzas respecto de cualquier punto (por ejemplo el extremo inferior de la escalera) es cero.
Conocido el ángulo θ, despejamos la fuerza de rozamiento Fr que impide que el extremo inferior deslice a lo largo de la pared horizontal
A medida que se incrementa el ángulo θ, se inclina cada vez más la escalera, la fuerza de rozamiento aumenta. Alcanza su valor máximo cuando
Fr=μsN= μsmg
Donde μs es el coeficiente estático de rozamiento
El ángulo límite θl a partir del cual la escalera empieza a deslizar es
tanθl=2μs
Dinámica
 | Si el ángulo que forma la escalera es mayor que el límite, θ0>θl la escalera empieza a deslizar. La fuerza de rozamiento Fr=μN en el extremo inferior de la escalera disminuye ligeramente, ya que el coeficiente cinético μ suele ser menor que el estático μs El movimiento de la escalera consta de dos etapas: |
1.- El extremo superior de la barra permanece en contacto con la pared vertical
- Movimiento de traslación del cm.
- Movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del dibujo que pasa por el centro de masas
con Ic=mL2/12, se supone que la escalera es una varilla homogénea de masa m y longitud L
La posición del centro de masas es (x, y). Mientras el extremo superior de la barra está apoyada en la pared vertical Fx>0, hay una relación entre x, y y el ángulo θ.
Derivamos dos veces respecto del tiempo
Despejamos Fx y N en las ecuaciones del movimiento del c.m.
Introducimos N, Fx y Fr=μN en la ecuación de la dinámica de rotación.
Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: En el instante t=0, dθ/dt=0, θ=θ0.
Observamos que la fuerza horizontal que ejerce la pared vertical Fx va disminuyendo hasta que se hace cero en el instante t1. El ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1 y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1. La velocidad horizontal del centro de masas es
2.- El extremo superior de la barra deja de estar en contacto con la pared vertical
Las ecuaciones del movimiento son
- Movimiento de traslación del centro de masas
- Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas
La ordenada y del centro de masas es
Derivamos dos veces respecto del tiempo
Despejamos la reacción N
Introducimos la expresión de N en la ecuación de la dinámica de rotación y en la de traslación del c.m. Obtenemos el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden
Se resuelve este sistema de dos ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t1, el ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1, la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1 y la velocidad horizontal del centro de masas es
Se detiene el movimiento cuando la escalera forma un ángulo θ=π/2 con la dirección vertical, cuando la escalera está tumbada en el suelo.
Escalera apoyada en dos paredes perpendiculares por la que sube una persona.
Supongamos una escalera homogénea de masa m y longitud L apoyada en dos paredes perpendiculares. Un hombre de masa M sube por la escalera hasta un peldaño situado a una distancia d del extremo inferior de la escalera, vamos a estudiar el comportamiento del sistema formado por la escalera supuesta una varilla homogénea y el hombre supuesto una masa puntual.
Estática
 | Las fuerzas sobre la escalera son las que se dibujan en la figura.
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Cuando la escalera forma un ángulo θ con la vertical las ecuaciones de equilibrio son:
La resultante de la fuerzas debe ser cero.
El momento de las fuerzas respecto de cualquier punto (por ejemplo el extremo inferior de la escalera) es cero.
Conocido el ángulo θ, despejamos la fuerza de rozamiento Fr que sujeta el extremo inferior de la escalera.
A medida asciende el hombre por los peldaños de la escalera, se incrementa d, la fuerza de rozamiento aumenta. Alcanza su valor máximo cuando
Fr=μsN= μs(mg+Mg)
Donde μs es el coeficiente estático de rozamiento
El valor máximo del desplazamiento dm del hombre a lo largo de la escalera es
Dinámica
 | La posición del centro de masas del sistema formado por el hombre y la escalera se encuentra a una distancia xc medida desde el extremo inferior de la escalera  |
Aplicando el teorema de Steiner calculamos el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masas
La fuerza de rozamiento Fr=μN en el extremo inferior de la escalera disminuye ligeramente, ya que el coeficiente cinético μ suele ser menor que el estático μs
El movimiento de la escalera consta de dos etapas:
1.- El extremo superior de la barra permanece en contacto con la pared vertical
 | Movimiento de traslación del cm.  |
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas
La posición del centro de masas es (x, y). Mientras el extremo superior de la barra está apoyada en la pared vertical Fx>0, hay una relación entre x, y y el ángulo θ.
Derivamos dos veces respecto del tiempo
Despejamos Fx y N en las ecuaciones del movimiento del c.m.
Introducimos N, Fx en la ecuación de la dinámica de rotación. Obtenemos la ecuación diferencial
Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: En el instante t=0, dθ/dt=0, θ=θ0.
Observamos que la fuerza horizontal que ejerce la pared vertical Fx va disminuyendo hasta que se hace cero en el instante t1. El ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1 y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1.
La velocidad horizontal del centro de masas es
2.- El extremo superior de la barra deja de estar en contacto con la pared vertical
Las ecuaciones del movimiento son
 | Movimiento de traslación del centro de masas  |
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas
La ordenada y del centro de masas es
Derivamos dos veces respecto del tiempo
Despejamos la reacción N
Introducimos la expresión de N en la ecuación de la dinámica de rotación y en la de traslación del c.m.
Obtenemos el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden
Se resuelve este sistema de dos ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t1, el ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1 y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1. y la velocidad horizontal del centro de masas es
Se detiene el movimiento cuando la escalera forma un ángulo θ=π/2
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