La medida de la aceleración de la gravedad g mediante el péndulo compuesto es una práctica habitual en el laboratorio de Física. En esta página, se explica y se simula esta experiencia, y se proporciona un programa interactivo que permite calcular la aceleración de la gravedad y el momento de inercia de la varilla aplicando el procedimiento de los mínimos cuadrados.
Fundamentos físicos
El péndulo compuesto es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo. Cuando se separa un ángulo q de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.
 | La ecuación de la dinámica de rotación se escribeIO·a =-mgxsenq Donde x es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O. IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O. |
Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial
Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes senθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces
Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P
Por el teorema de Steiner
IO=IC+mx2=mR2+mx2
R se denomina radio de giro, para una varilla R2=l2/12, siendo l la longitud de la varilla. El periodo se escribe
Cuando se representa P en función de x. Aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcanza un valor infinito para x=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de x que se puede calcular derivando P respecto de x e igualando a cero.
Dado un valor de P podemos hallar los dos valores de x que hacen que el péndulo compuesto oscile con dicho periodo.
Para obtener estos valores, elevamos al cuadrado la fórmula del periodo P, obteniendo la ecuación de segundo grado
La ecuación de segundo grado en x, tiene dos soluciones, que se muestran en la figura, las abscisas x1 y x2 de las intersecciones de la recta horizontal (P=cte) y la curva (P en función de x).
De las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado
 |
Midiendo en la gráfica x1 y x2 para un valor dado de P, obtenemos el valor de la aceleración de la gravedad g. También podemos obtener el momento de inercia del péndulo Ic=mR2 compuesto respecto a un eje que pasa por el centro de masa, pesando en una balanza el péndulo y calculando R2 mediante el producto de x1 por x2.
Ejemplo
Se ha realizado una experiencia con una varilla de l=1 m de longitud con agujeros cada 5 cm. En la figura vemos la representación del periodo P en función de x, y los datos experimentales (puntos de color rojo).
Vemos que para un periodo P=1.6 s, x1=0.182 m y x2=0.457 m. De la primera ecuación, despejamos g=9.85 m/s2, y de la segunda calculamos R2=0.08≈1/12 m2
Procedimiento de mínimos cuadrados
Elevando al cuadrado la fórmula del periodo P del péndulo compuesto
o bien, la función y=a/x+bx, con y=P2
Dada una tabla de valores xi y periodos yi se trata de calcular los valores de los coeficientes a y de b que mejor ajustan a los datos experimentales. El procedimiento aplicado es similar a la regresión lineal
Medimos el periodo Pi de péndulo para cada posición xi, completando una tabla con N pares de datos
Si (xi, yi) son las coordenadas de un dato experimental, a la abscisa xi le correspondería la ordenada y=a/xi+bxi. La diferencia es
di=yi-a/xi-bxi
Calcularemos los valores de los parámetros a y b que hacen que la suma
sea mínima.
Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, para determinar los coeficientes a y b.
Ejemplo
Datos tomados más arriba.
| x (cm) | P (s) |
| 5 | 2.620 |
| 10 | 1.936 |
| 15 | 1.668 |
| 20 | 1.568 |
| 25 | 1.520 |
| 30 | 1.512 |
| 35 | 1.536 |
| 40 | 1.576 |
| 45 | 1.600 |
Para una varilla de longitud l=1 m, el radio de giro vale R2=1/12, Los coeficientes a y b
Los valores experimentales que nos proporciona le programa interactivo son
a=0.333 m/s2, b=4.025 s2/m
Péndulo compuesto no homogéneo
 | Consideremos un péndulo compuesto formado por un tubo hueco largo y de pequeño radio de masa M0 y longitud L como se muestra en la figura. Se sujeta por un eje que pasa por uno de los extremos y se desplaza de la posición de equilibrio comenzando a oscilar. El periodo es |
Siendo I0=M0L2/3 el momento de inercia y y0=L/2 la posición del centro de masa
 | Supongamos que el tubo hueco se rellena uniformemente hasta una altura h con una masa m de cierta sustancia (en color rojo). El periodo es  |
Donde Im es el momento de inercia de la masa m alrededor del eje de oscilación e y es la distancia del centro de masa del sistema formado por el tubo y la masa m de relleno desde el centro de oscilación.
El periodo P vale
Sea M la masa de la sustancia que rellena completamente el tubo, entonces cuando el tubo está parcialmente lleno hasta una altura h, m=M·h/L. El periodo P se expresa
El periodo P es función de los cocientes R=M/M0 y x=h/L
El periodo P presenta un máximo para cierto valor de x=h/L, que se calcula igualando la derivada primera de P respecto de x, a cero, dP/dx=0
Resultando la ecuación
R2x4-4R2x3+3R2x2-3Rx2+4Rx-R=0
Que se puede resolver empleando procedimientos numéricos
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