Dinámica de rotación y balance energético

En el aula y en el laboratorio se propone a los estudiantes resolver un conjunto de problemas de dinámica del sólido rígido para practicar las ecuaciones de la dinámica de rotación y el principio de conservación de la energía.
Se usa un dispositivo similar a una rueda de bicicleta que puede girar alrededor de un eje fijo. Se enrollan cuerdas de las que penden una o dos pesas tal como se muestra en la figura.

Se mide el tiempo que tarda una pesa en recorrer una determinada altura, partiendo del reposo. A partir de este dato, de las masas de los cuerpos, y de los radios interior y exterior de la rueda, se calcula el momento de inercia por dos procedimientos

• Aplicando las ecuaciones de la dinámica
• Aplicando el principio de conservación de la energía

Describiremos a continuación, cada una de los tres experiencias desde el más sencilla a la más complicada

Primera experiencia

• Método: conservación de la energía

La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular rápidamente el principio de conservación de la energía.

La pesa de masa m desciende una altura h. La pesa de masa m incrementa su velocidad en v La rueda gira con velocidad angular w La energía potencial disminuye en mgh, su energía cinética se incrementa en mv2/2, y lo mismo ocurre para sólido en rotación, su energía cinética se incrementa en Iw 2/2.

La ecuación del balance energético es

La velocidad v se calcula a partir de h y del tiempo t que tarda la pesa en descender esta altura, partiendo del reposo.

La velocidad angular w está relacionada con la velocidad v de la pesa que a su vez, es la misma que la velocidad de un punto del borde de la rueda de radio r (siendo r el radio interior de la rueda). Véase la relación entre magnitudes lineales y angulares.

Completar la siguiente tabla  y despejar el momento de inercia desconocido

Altura h
Tiempo t
Velocidad v
Radio r
Velocidad angular w
Masa  m de la pesa
Momento de inercia I

• Método: dinámica

En la figura, se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento.

La ecuación de la dinámica de rotación de la rueda es T·r=Ia La ecuación de la dinámica de traslación de la pesa es mg-T=ma La relación entre la aceleración angular a del disco y la aceleración a de la pesa es la misma que la existente entre sus respectivas velocidades a=a·r

Conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a

A partir de la medida del radio r de la rueda (interior o exterior, según el caso), se calcula la aceleración angular a del disco, la tensión T de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.

Altura h
Tiempo t
Aceleración a
Radio r
Aceleración angular a
Masa de la pesa m
Tensión de la cuerda T
Momento de inercia I

Ejemplo:
Se introduce

• Masa de la primera pesa cero (m₁=0),
• Masa de la segunda pesa m₂=200 g,
• Radio interior r=30 cm.

Segunda experiencia

• Método: conservación de la energía

La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular el principio de conservación de la energía.

La pesa de masa m2 desciende una altura h. La pesa de masa m1 asciende la misma altura h. La pesa de masa m1 aumenta en v su velocidad. Lo mismo le ocurre a la pesa de masa m2 La rueda gira con velocidad angular w .

Se formula el principio de conservación de la energía

Calculando la velocidad v a partir de h y del tiempo t que la pesa tarda en descender esta altura, partiendo del reposo, y relacionando v con velocidad angular w de la rueda, se obtiene el momento de inercia I.
Completar la siguiente tabla  y despejar el momento de inercia desconocido

Altura h
Tiempo t
Velocidad v
Radio R
Velocidad angular w
Masa m1 de la pesa 1
Masa m2 de la pesa 2
Momento de inercia I

• Método: Dinámica

En la figura, se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema, formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.

m2g-T2=m2aT1-m1g=m1a T2R-T1R=Ia a=a R

Como en el ejemplo anterior, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa de mayor masa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a
A partir de la medida del radio exterior R de la rueda, se calcula la aceleración angular a del disco, las tensiones T₁ y T₂ de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.

Altura h
Tiempo t
Aceleración a
Radio R
Aceleración angular a
Masa m1 de la pesa 1
Masa m2 de la pesa 2
Tensión de la cuerda T1
Tensión de la cuerda T2
Momento de inercia I

Ejemplo:
Se introduce:

• Masa m₁ de la primera pesa, 100 g
• Masa m₂ de la segunda pesa, 200 g
• Radio R, 30 cm.

Tercera experiencia

• Método: conservación de la energía

Comparando el estado inicial y final observamos que

La pesa de masa m1 desciende una altura h1 La pesa de masa m2 asciende una altura h2 La pesa de masa m1 incrementa su velocidad en v1 La pesa de masa m2 incrementa su velocidad en v2 La rueda está girando con velocidad w

Formulamos el principio de conservación de la energía

Existe una relación entre h₁ y h₂, la misma que existe entre v₁ y v₂. Recordaremos que las magnitudes angulares son las mismas para todos los puntos del sólido en rotación mientras que las magnitudes lineales son proporcionales al radio.

• v₁=w  r₁
• v₂=w  r₂
• h₁=q  r₁
• h₂=q  r₂

w es la velocidad angular de la rueda y q es el ángulo girado en el tiempo t.

Dados los datos de h₁, la altura que cae la pesa de masa m₁ y el tiempo t que tarda en caer, y a partir de las medidas de los radios interior r₂ y exterior r₁ de la rueda podemos calcular, el momento de inercia I desconocido de la rueda, siguiendo los mismos pasos que en los ejercicios previos.

Completar la siguiente tabla  y despejar el momento de inercia desconocido

Altura h1
Radio r1
Radio r2
Altura h2
Tiempo t
Velocidad v1
Velocidad angular w
Velocidad v2
Masa m1 de la pesa 1
Masa m2 de la pesa 2
Momento de inercia I

• Método: dinámica

En la figura, se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.

Primero determinamos el sentido del movimiento. No es suficiente con comparar las masas de los cuerpos m₁ y m₂. Es necesario comparar los momentos de sus pesos. Si m₁g·r₁>m₂g·r₂, el movimiento tendrá el sentido indicado en la figura. Si m₁g·r₁<m₂g·r₂, el movimiento tendrá sentido contario.

m1g-T1=m1a1 T2-m2g=m2a2 T1r1-T2r2=Ia a1=a r1 a2=a r2

Como en los ejemplos anteriores, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa de masa m₁ y la altura h₁ desde la que cae, se determina la aceleración a₁. Con los datos de los radios r₁ y r₂, se determina a y a₂. A continuación T₁, T₂ y finalmente I.

Completar la siguiente tabla  y despejar el momento de inercia desconocido

Altura h1
Altura h2
Tiempo t
Aceleración a1
Radio r1
Radio r2
Aceleración angular a
Aceleración a2
Masa m1 de la pesa 1
Masa m2 de la pesa 2
Tensión de la cuerda T1
Tensión de la cuerda T2
Momento de inercia I