Movimiento de un disco impulsado por una fuerza de módulo constante

En esta página, se estudia el movimiento de un disco que desliza sobre una superficie horizontal impulsado por una fuerza de módulo constante. Supondremos que no hay rozamiento entre le disco y el plano sobre el que desliza. Un cohete que quema combustible a razón constante proporciona una fuerza de módulo constante.

Para describir el movimiento del centro del disco, se emplean las integrales de Fresnel, que son funciones especiales que utilizaremos para describir la intensidad debida a la difracción producida por el borde de una hoja, de una rendija de dimensiones dadas, etc. 

La dirección de la fuerza pasa por el centro del disco

Empezamos por el caso más sencillo. El disco gira con velocidad angular constante ω₀, y la dirección de la fuerza pasa por el centro del disco.

Las ecuaciones del movimiento son:

Movimiento de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro

La dirección de la fuerza que ejerce el cohete sobre el disco pasa por el centro del disco, el momento es cero, la velocidad angular de rotación es constante.

θ=ω₀·t

Movimiento de traslación del centro del disco

La fuerza sobre el centro del disco es

F_x=F·senθ
F_y=-F·cosθ

La aceleración es

Si el disco parte con velocidad inicial nula, v_x=0, v_y=0.

Integramos de nuevo, suponiendo que el centro del disco parte del origen x=0, y=0

Esta es la ecuación de una cicloide que encontraremos al estudiar

• La trayectoria de una partícula cargada en un campo eléctrico y magnético cruzados
• La trayectoria de una esfera que rueda sobre una plataforma giratoria
• La trayectoria de una partícula situada en el borde de un disco que rueda sin deslizar con velocidad constante.
  
  

  La dirección de la fuerza es tangente al disco

  Por razón de conveniencia situaremos el origen de ángulos en el eje Y negativo, para que las componentes de F_x y F_y de la fuerza sean inicialmente positivas, y las componentes de la velocidad v_x y v_y también lo sean en todo momento.
  
  Movimiento de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro
  El momento de la fuerza de empuje del cohete respecto al centro del disco es F·R
  La ecuación del movimiento de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro
  
  Donde I es el momento de inercia del disco y del cohete situado en el borde.
  Como la aceleración angular es constante. El ángulo girado θ al cabo de un cierto tiempo t es
  
  Supondremos que el disco parte del reposo, dθ/dt=0 en el instante t=0
  Movimiento de traslación del centro del disco
  Las componentes de la fuerza sobre el disco son
  F_x=F·cosθ
  F_y=F·senθ
  
  En la figura, se representa F_y/F en función del tiempo t, tomando FR/I=1. En el intervalo angular entre θ=0 y θ₁=π o en el intervalo de tiempo comprendido entre t=0, y la componente Y de la fuerza F_y es positiva y el cambio de momento lineal del disco en dicha dirección es el área de color amarillo comprendida entre la curva y el eje X. Durante el intervalo angular entre θ₁=π y θ₂=2π o en el intervalo de tiempo comprendido entre y la componente Y de la fuerza F_y es negativa y el impulso de la fuerza en dicha dirección es el área de color azul claro comprendida entre la curva y el eje X.
  Durante la primera vuelta, el área total es positiva, lo que implica que la componente v_y de la velocidad es positiva, y lo mismo cabe decir de las sucesivas vueltas. La suma de las áreas de color amarillo, excede la suma de las áreas de color azul claro. La componente v_y de la velocidad del centro del disco es siempre positiva. El mismo argumento se aplica para la componente v_x.
  
  Si el disco parte con velocidad inicial nula, v_x=0, v_y=0.
  
  Se define la integral seno y coseno de Fresnel como
  
  Haciendo el cambio de variable
  
  expresamos las componentes de la velocidad en términos de estas dos funciones especiales
  
  Cuando se representa en el eje X los valores de C(t) y en el eje Y los valores de S(t) para cada instante t,  se obtiene una curva denominada espiral de Cornu.
  
  Las componentes de la velocidad son proporcionales a las proyecciones del radio vector que une el origen con el punto de la espiral correspondiente al instante t. La longitud del radio vector es proporcional al módulo de la velocidad. Como podemos apreciar en la figura, dicho módulo alcanza un valor máximo y luego disminuye y aumenta alternativamente hasta que alcanza un valor límite, cuando el tiempo t→∞, C(t) →0.5 y S(t) →0.5.
  Las componentes de la velocidad final del centro del disco cuando t→∞, son
  
  Integramos de nuevo, para obtener la posición del centro del disco en función del tiempo, suponiendo que parte del origen x=0, y=0, en el instante t=0.
  
  Integramos por partes
  
  De modo análogo
  
  La trayectoria final del centro del disco es rectilínea formando 45º con el eje X pero no pasa por el origen.