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miércoles, 27 de octubre de 2010

Movimiento de un disco que gira y desliza sobre una superficie plana y horizontal

En esta página, se analiza el movimiento de un disco que desliza sobre una superficie plana y horizontal y que a la vez gira alrededor de su eje.
Vamos a estudiar el papel de la fuerza de rozamiento entre la superficie del disco y el plano sobre el que desliza, se observa que:
  1. Cuando el disco no gira, continúa su movimiento rectilíneo de traslación hasta que se detiene.
  2. Cuando el disco solamente gira, continua su movimiento de rotación con su centro de masa en reposo, hasta que se para.
  3. El tiempo que tarda en detenerse el disco depende de su velocidad inicial y del coeficiente de rozamiento.
  4. Cuando el disco tiene ambos tipos de movimiento, el centro del disco continúa su movimiento rectilíneo de traslación y el disco gira alrededor del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro, hasta que ambos movimientos se detienen simultáneamente, independientemente de las velocidades iniciales.
Esta última propiedad parece sorprendente, pero vamos a demostrar que los movimientos de traslación y de rotación del disco no son independientes, sino que están fuertemente acoplados.
Este ejemplo, aunque sencillo en su formulación no tiene una solución analítica. Para describir la posición y la velocidad del disco en función del tiempo hay que resolver, aplicando procedimientos numéricos, las ecuaciones del movimiento.

Ecuaciones del movimiento del aro

Recordaremos que
Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie horizontal. La fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es F=μN, con N=mg
Comenzamos nuestro estudio con un aro de masa ma y de radio R, como etapa previa antes de abordar el disco. El centro del aro se mueve con velocidad v, y gira alrededor de un eje perpendicular al plano del aro y que pasa por el centro, con velocidad angular ω.
El vector velocidad de un punto P cuya posición angular es θ,
vp=(v-ωRsenθ)i+(ωRcosθ)j
La fuerza de rozamiento dF que actúa sobre un elemento de masa dm se opone al movimiento de dicho elemento, su dirección es la misma que la velocidad v, y de sentido contrario.
Si ma es la masa del aro, la masa dm del elemento de longitud R·dθ, es dm=ma·dθ/(2π)
Resultantes de las fuerzas que actúan sobre el aro
Las componentes del vector fuerza dF sobre dicho elemento son
Las componentes de la fuerza resultante sobre el aro son
Por simetría Fy=0, lo que se confirma resolviendo la segunda integral.
Ecuación del movimiento del centro de masas del aro
 ma·(dv/dt)=Fx
Momento de las fuerzas sobre los elementos del aro, respecto de su centro.
El momento total de las fuerzas sobre los elementos del aro, respecto del centro es
Su dirección es la del eje de rotación (ejeZ), y su sentido es contrario al de la velocidad angular ωdel aro.
Ecuación de la dinámica de rotación I(dω/dt)=M. Donde I=ma·R2 es el momento de inercia del aro.
Para calcular la posición x y la velocidad v del centro del aro, el ángulo girado φ, y velocidad angular ω de rotación en función del tiempo t, se ha de resolver, empleando procedimientos numéricos, un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Previamente, hemos de obtener los valores de las funciones f(v, ω) y g(v, ω) calculando numéricamente las dos integrales para cada valor de v y ω.

Casos particulares

  • Solamente hay movimiento de traslación, ω=0
El centro del aro sigue una trayectoria rectilínea. Parte con velocidad inicial v0, va disminuyendo con el tiempo hasta que se para.
v=v0-μg·t
x=v0·t- μg·t2/2
El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento x son, respectivamente
  • Solamente hay movimiento de rotación, v=0
El centro del aro permanece en reposo. Gira alrededor del eje perpendicular al plano del aro y que pasa por su centro, con velocidad inicial ω0, que va disminuyendo con el tiempo, hasta que se para.
ω=ω0-μg·t/R
φ=ω0·t- μg·t2/(2R)
El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento angular φ son, respectivamente

Ecuaciones del movimiento del disco

Sea un disco de masa md y de radio R. El centro del disco se mueve con velocidad v, y gira alrededor de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por el centro, con velocidad angular ω.
El vector velocidad de un punto P que dista r del centro y cuya posición angular es θ, es
vp=(v-ωrsenθ)i+(ωrcosθ)j
La fuerza de rozamiento dF que actúa sobre el elemento de masa dm se opone al movimiento de dicho elemento, su dirección es la misma que la velocidad v, y de sentido contrario.
Si md es la masa del disco, la masa dm contenida en el elemento de área (r·dθ)dr, es dm=md·r·dθ·dr/(πR2)
Resultante de las fuerzas que actúan sobre el disco
Las componentes del vector dF sobre dicho elemento son
Las componentes de la fuerza resultante sobre el disco son
Por simetría Fy=0.
Ecuación del movimiento del centro de masas del disco
 md·(dv/dt)=Fx
Momento de las fuerzas sobre los elementos del disco, respecto de su centro.
El momento total de las fuerzas sobre los elementos del disco, respecto del centro es
Ecuación de la dinámica de rotación I(dω/dt)=M. Donde I=(1/2)md·R2 es el momento de inercia del disco.
Para calcular la posición x y la velocidad v del centro del disco, el ángulo girado φ, y velocidad angular ω de rotación en función del tiempo t, se ha de resolver, empleando procedimientos numéricos, un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Previamente, hemos de obtener los valores de las funciones f(v, ω) y g(v, ω) calculando numéricamente las dos integrales dobles para cada valor de v y ω.

Casos particulares

  • Solamente hay movimiento de traslación, ω=0
El centro del disco sigue una trayectoria rectilínea. Parte con velocidad inicial v0, va disminuyendo con el tiempo, hasta que se para.
v=v0-μg·t
x=v0·t- μg·t2/2
El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento x son, respectivamente
  • Solamente hay movimiento de rotación, v=0
El centro del disco permanece en reposo. Gira alrededor del eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro, con velocidad inicial ω0, que va disminuyendo con el tiempo, hasta que se para.
ω=ω0-4μg·t/(3R)
φ=ω0·t-4μg·t2/(6R)
El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento angular φ son, respectivamente

Ejemplo

  • Coeficiente de rozamiento μ=0.3 entre el aro o disco y el plano horizontal sobre el que deslizan.
  • El radio del aro o del disco es R=1 m.
Aro
  • Velocidad inicial de traslación del c.m. v0=5 m/s
  • Velocidad inicial de rotación ω0=0
La aceleración constante es – μ·g=-2.94 m/s2
El tiempo que tarda en parase es t=5/2.94=1.70 s
El desplazamiento del centro del aro en este tiempo es x=4.25 m
Disco
Para el disco se obtienen los mismos resultados
Aro
  • Velocidad inicial de traslación del c.m.,v0=0
  • Velocidad inicial de rotación, ω0=1 rad/s
La aceleración angular constante es – μ·g/R=-2.94 m/s2
El tiempo que tarda en parase es t=1.0/2.94=0.34 s
El ángulo girado por el aro en este tiempo es φ=0.17 rad
Disco
La aceleración angular constante es – 4μ·g/(3R)=-3.92 m/s2
El tiempo que tarda en parase es t=1/3.92=0.26 s
El ángulo girado por el disco en este tiempo es φ=0.13 rad
Aro
  • Velocidad inicial de traslación del c.m., v0=5 m/s
  • Velocidad inicial de rotación, ω0=1 rad/s
El tiempo que tarda en parase es t=1.78 s
El ángulo girado por el aro en este tiempo es φ=1.15 rad
El desplazamiento del centro del aro en este tiempo es x=4.34 m
  • Velocidad inicial de traslación del c.m., v0=1 m/s
  • Velocidad inicial de rotación, ω0=5 rad/s
El tiempo que tarda en parase es t=1.78 s
El ángulo girado por el aro en este tiempo es φ=4.34 rad
El desplazamiento del centro del aro en este tiempo es x=1.15 m

Procedimientos numéricos de cálculo

  • Integral definida por el procedimiento de Simpson
  • Integral doble por el procedimiento de Simpson
  • Procedimiento de Runge-Kutta para resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.
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