Tenemos dos discos, el inferior tiene un radio de 1 m y superior tiene un radio de 0.5 m que pueden girar alrededor del mismo eje pero con velocidades angulares distintas. En un momento dado, el disco superior cae y se acopla al disco inferior. Se pide calcular la velocidad angular de rotación del conjunto de los dos discos acoplados.
Mediante esta simulación, se quiere mostrar que las fuerza interiores o de interacción mutua entre las partículas del sistema no afectan al estado final del sistema.
Fundamentos físicos
Tenemos un sistema formado por dos discos que giran alrededor de un eje común. El momento de las fuerzas exteriores respecto del eje de rotación O es nulo, por lo que se conserva el momento angular
El momento angular de un sólido en rotación alrededor de un eje fijo con velocidad angular w es L=Iw
La fórmula del momento de inercia I0 de un disco respecto a un eje de rotación perpendicular al disco y que pase por su centro es 
Momento angular antes del acoplamiento
El momento angular del sistema antes del acoplamiento es la suma de los momentos angulares de cada uno de los discos
L=I1w1+ I2w2
Donde w1 y w2 son las velocidades angulares iniciales antes del acoplamiento.
Momento angular después del acoplamiento
Después del acoplamiento ambos discos llevan una velocidad angular común w .
L=I1w + I2w
Principio de conservación del momento angular
Despejando la velocidad angular w , tenemos
Esta fórmula es similar al choque entre una bala y un bloque, cuando la bala se incrusta en el bloque.
Balance energético
Energía antes del acoplamiento
Energía después del acoplamiento
El trabajo de la fuerza de rozamiento en el acoplamiento es W=Ef-Ei. Haciendo algunas simplificaciones podemos llegar a esta expresión final
La energía final es siempre menor que la inicial Ef<Ei
El papel de las fuerza internas
La velocidad angular de los discos acoplados cambia desde las velocidades angulares iniciales w1 y w2 a la velocidad angular final w a lo largo de un tiempo t.
Sobre los discos actúan fuerzas interiores de rozamiento entre las superficies en contacto de modo que, uno de los discos se acelera y el otro se decelera hasta que adquieren la misma velocidad angular final w.
 | Estas fuerza interiores ejercen un momento Mr. Imaginemos que w1 > w2, el momento Mr se opone a w1 decelerando el disco inferior y acelerando el disco superior tal como se muestra en la figura.Imaginemos que ambos discos tienen momentos de inercia iguales I1=I2 y velocidades angulares iguales y de sentido contrario w1 =- w2, el momento Mr hace disminuir ambas velocidades, hasta que la velocidad angular final del conjunto es cero, tal como predice el principio de conservación del momento angular. |
Ecuación de la dinámica de rotación
Formulamos la ecuación de la dinámica de rotación para cada uno de los discos
-Mr=I1·a1
Mr=I2·a2
Mr=I2·a2
Suponiendo que Mr es constante, las aceleraciones angulares son constantes, las velocidades angulares valdrán
w1 =w10 +a1t
w2=w20+a2t
w2=w20+a2t
donde w10 y w20 son las velocidades angulares iniciales en el instante t=0.
A partir de estas ecuaciones se puede calcular el tiempo t que tardan los discos en adquirir la misma velocidad angular w1=w2=w.
También podemos calcular el desplazamiento de cada uno de los discos durante el intervalo de tiempo t.
Trabajo de las fuerzas internas
El trabajo del momento de la fuerza de rozamiento es
W=-Mr·q1+Mr·q2
Como vemos por las flechas en la figura, Mr es opuesto al desplazamiento q1 (trabajo negativo), y es del mismo sentido que el desplazamiento q2 (trabajo positivo).
Haciendo algunas operaciones podemos llegar en pocos pasos a la misma expresión para W que la que obtuvimos a partir del balance energético después de aplicar el principio de conservación del momento angular. Pero ahora podemos interpretar mejor el origen de la disipación de la energía durante el tiempo t que dura el acoplamiento (hasta que los discos alcanzan la misma velocidad angular final).
Ejemplos
Ejemplo 1º:
- Momentos de inercia
Sea m1=0.2 kg, r1=1.0 m, I1=0.1 kg·m2
Sea m2=0.8 kg, r2=0.5 m, I2=0.1 kg·m2
- Velocidades angulares iniciales
Sea w1=2 rad/s
Sea w2=0 rad/s
- Principio de conservación del momento angular
0.1·2+0.1·0=(0.1+0.1)·w , por lo que w =1 rad/s
Ei=0.2 J
- Balance energético
Ef=0.1 J
W=Ef-Ei=-0.1 J
- Fuerzas internas
Sea el momento de las fuerza se rozamiento Mr=0.1 N·m. Calculamos las aceleraciones angulares de cada disco
-0.1=0.1·a1
0.1=0.1·a2
Ahora las velocidades angulares finales
w1 =2-1·t
w2=0+1·t
Las velocidades angulares w1 =w2 se hacen iguales en el instante t=1 s después de haberse acoplado. En este instante la velocidad angular común es 1 rad/s
Desplazamientos (ángulo girado por cada disco en el tiempo t)
- Balance energético
q1=1.5 rad
q2=0.5 rad
Trabajo del momento de las fuerzas de rozamiento
W=-0.1·1.5+0.1·0.5=-0.1 J
El momento de las fuerzas de rozamiento se opone al desplazamiento del primer disco y favorece el del segundo
Obtenemos el mismo valor que en el apartado 1º
Ejemplo 2º
Un caso interesante se produce cuando ambos discos tienen el mismo momento de inercia, y velocidades angulares iguales y de sentido contrario
- Momentos de inercia
Sea m1=0.2 kg, r1=1.0 m, I1=0.1 kg·m2
Sea m2=0.8 kg, r2=0.5 m, I2=0.1 kg·m2
- Velocidades angulares iniciales
Sea w1=-4 rad/s
Sea w2=4 rad/s
- Principio de conservación del momento angular
0.1·4-0.1·4=(0.1+0.1)·w , por lo que w =0 rad/s
Los discos se paran después de acoplarse
Ei=1.6 J
- Balance energético
Ef=0.0 J
La pérdida de energía durante el acoplamiento
W=Ef-Ei=-1.6 J
- Fuerzas internas
Sea el momento de las fuerza se rozamiento Mr=0.1 N·m. Calculamos las aceleraciones angulares de cada disco
-0.1=0.1·a1
0.1=0.1·a2
Ahora las velocidades angulares finales
w1 =4-1·t
w2=-4+1·t
Las velocidades angulares w1 =w2 se hacen iguales en el instante t=4 s después de haberse acoplado. En este instante la velocidad angular final común es cero
- Balance energético
Desplazamientos (ángulo girado por los discos) durante el tiempo tq1=8 rad
q2=-8 radTrabajo del momento de las fuerzas de rozamientoW=-0.1·8+0.1·(-8)=-1.6 JFijarse ahora que el momento de las fuerzas de rozamiento se opone al desplazamiento de ambos discos
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