En la página titulada “Choques frontales elásticos”, estudiamos la transferencia de velocidad en los choques elásticos por medio de una partícula interpuesta. La primera partícula de masa m1 choca elásticamente con una segunda partícula de masa m2 y ésta con una tercera de masa m3.
La máxima transferencia de velocidad entre la primera y la tercera partícula se produce cuando la partícula intermedia tiene una masa 
En esta página, vamos a estudiar un dispositivo que permite transferir la velocidad de una partícula de masa m1 que lleva una velocidad u1 a una partícula de masa m2 inicialmente en reposo.
Conservación del momento angular
En la figura, observamos el dispositivo antes del choque. Una partícula de masa m1 que lleva una velocidad constante u1 choca contra una varilla de masa M y de longitud 2d que está inicialmente en reposo y que puede girar alrededor de un eje fijo, perpendicular a la varilla y que pasa por su centro. Una partícula de masa m2 permanece en reposo en el extremo de la varilla.
Al chocar la partícula de masa m1 con la varilla a una distancia x de su eje, la varilla gira y mueve a la partícula de masa m2. La varilla es el mecanismo intermedio que permite transferir parte de la energía de la primera partícula a la segunda
El sistema formado por las dos partículas y la varilla no es aislado, ya que la varilla está sujeta por su eje central. El momento de las fuerzas exteriores respecto del eje de rotación O es nulo, por lo que se conserva el momento angular
Antes del choque la varilla y la partícula de masa m2 están en reposo. El momento angular inicial respecto de O es
Li=m1u1·x
Después de la colisión, la partícula incidente se mueve con velocidad v1, la velocidad angular de rotación de la varilla es ω, y la velocidad de la segunda partícula es v2=ω·d. El momento angular final respecto de O es
El momento de inercia de la varilla respecto de su eje central es M(2d)2/12=Md2/3.
La conservación del momento angular nos proporciona la primera ecuación
La definición de coeficiente de restitución e, aplicada al choque entre la primera partícula y un punto de la varilla situado a una distancia x del eje de rotación, nos proporciona la segunda ecuación.
v1-ωx=-e(u1-0)
Despejamos la velocidades después del choque v1 y v2
La no conservación del momento lineal
Si la masa de la varilla es despreciable M=0
Podemos comprobar haciendo algunas operaciones, que se cumple la siguiente relación entre los momentos de las partículas antes y después del choque.
Como vemos no se conserva el momento lineal en la colisión, incluso si la masa de la varilla es despreciable.
Máxima transferencia de la velocidad en el choque
La máxima transferencia de velocidad no se produce para x=d cuando el brazo del momento angular es máximo como cabría esperar a primera vista.
La transferencia máxima de velocidad se realiza para un valor de x tal que hace que la velocidad v2 de la segunda partícula después del choque sea máxima. Derivando v2 respecto de x e igualando a cero obtenemos
Las velocidades de las partículas después del choque son, respectivamente,
En un choque perfectamente elástico e=1, la partícula incidente permanece en reposo v1=0 después del choque.
En el caso de que la varilla tenga una masa despreciable M=0, el valor de x se obtiene de la relación de proporcionalidad
Ejemplos
Choque elástico y varilla de masa despreciable
- Masa de la varilla M=0
- Masa de la partícula m2=0.25 kg
- Coeficiente de restitución e=1.
- Masa de la partícula incidente m1=1 kg
- Velocidad inicial de la partícula incidente u1=1 m/s
- Posición de la partícula incidente x=0.5.
Observamos que
- la partícula incidente queda en reposo después del choque, v1=0
- la segunda partícula adquiere una velocidad de v2=2 m/s.
Toda la energía de la partícula incidente se ha convertido en energía cinética de la segunda partícula. Como la varilla no tiene masa, su energía de rotación es cero.
Choque inelástico y varilla de masa despreciable
- Masa de la varilla M=0
- Masa de la partícula m2=0.25
- Coeficiente de restitución e=0.8.
- Masa de la partícula incidente m1=1 kg
- Velocidad inicial de la partícula incidente u1=1 m/s
- Posición de la partícula incidente x=0.5.
Observamos que
- La velocidad de la partícula incidente después del choque es v1=0.1 m/s
- La velocidad de la segunda partícula después del choque es, v2=1.8 m/s
Comprobamos la relación ente los momentos inicial y final de las partículas
Una parte de la energía de la partícula incidente se ha convertido en energía cinética de la segunda partícula, otra parte, se ha perdido en el choque, y el resto es la energía cinética de la primera partícula después del choque. Como la varilla no tiene masa, su energía de rotación es cero.
La partícula incidente permanece en reposo para un valor de x tal que
m1·x2=e·m2d2
Con estos datos para x=0.447≈0.45, la partícula incidente permanece en reposo después del choque, v1=0.
La velocidad de la segunda partícula después del choque es v2=1.61 m/s, que como apreciamos no corresponde a la máxima transferencia de velocidad.
Una parte de la energía de la partícula incidente se ha convertido en energía cinética de la segunda partícula, el resto se ha perdido en el choque.
Choque elástico y masa de la varilla no nula.
- Masa de la varilla M=1.5 kg
- Masa de la partícula m2=0.25
- Coeficiente de restitución e=1.0.
- Masa de la partícula incidente m1=1 kg
- Velocidad inicial de la partícula incidente u1=1 m/s
- Posición de la partícula incidente x=0.866.
La máxima transferencia de velocidad se produce para esta posición
- La partícula incidente después del choque permanece en reposo v1=0 m/s
- La velocidad de la segunda partícula después del choque es, v2=1.155 m/s
La energía de la partícula incidente se ha repartido en energía de rotación de la varilla (en color gris) y energía cinética de la segunda partícula (en color azul).
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