Camara


miércoles, 27 de octubre de 2010

Movimiento de una caja sobre una cinta transportadora

En la sección Fuerza de rozamiento del capítulo Dinámica se ha estudiado un ejemplo ilustrativo “Una barra apoyada en dos puntos móviles” que nos permite estudiar el papel de los coeficientes de rozamiento estático y cinético en el movimiento de un cuerpo.
Una caja de masa m está unida a un muelle de constante elástica k, se coloca sobre una cinta trasportadora que se mueve con velocidad constante v0. El coeficiente estático de rozamiento entre la caja y la cinta es μs y el coeficiente cinético μk, con μs≥ μk.
Las fuerzas sobre la caja son:
  • El peso mg
  • La reacción de la cinta N=mg
  • La fuerza que ejerce el muelle deformado kx
  • La fuerza de rozamiento fr
Vamos a estudiar cada una de las etapas del movimiento

Etapa inicial

Cuando la caja se encuentra en el origen, el muelle no está deformado
Si colocamos la caja en el origen la fuerza de rozamiento fr lo mueve hacia la derecha con velocidad v0, la deformación del muelle aumenta, la fuerza que ejerce el muelle aumenta, hasta que la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo fr=μs·mg, tal como se muestra en la figura, esto sucede en la posición kx0= μs·mg

La caja desliza sobre la cinta

En este instante, ponemos a cero el cronómetro t=0
La fuerza de rozamiento vale fr= μk·mg y tiene el mismo sentido que la velocidad relativa (v0-v), o de sentido contrario a la velocidad relativa de la caja sobre la cinta. Como v≤v0, el sentido de la fuerza de rozamiento es el mismo que el de la velocidad de la cinta (hacia la derecha).
La ecuación del movimiento del cuerpo es
ma=-kx+fr
En forma de ecuación diferencial se escribe
Esta ecuación del movimiento nos recuerda la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene el término adicional μk·g
La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C)  en la ecuación diferencial
ω2C= μk·g               C= μk·g/ω2
La solución completa de la ecuación diferencial es
La velocidad de la caja es
La amplitud A y la fase inicial φ se calculan a partir de las condiciones iniciales. Ponemos el contador de tiempo a cero t=0, cuando la caja parte de la posición x0= μs·g/ω2, con velocidad v0.
La posición x y la velocidad v de la caja es
La caja se mueve hacia la derecha de la posición inicial x0,  La fuerza que ejerce el muelle kx es mayor que la fuerza de rozamiento fr= μk·mg, la velocidad de la caja disminuye hasta que se hace cero en el instante t tal que ωt+φ=π/2. La caja se encuentra en la posición de máximo desplazamiento hacia la derecha
A partir de este momento, la caja se mueve hacia la izquierda incrementando su velocidad, hasta que pasa por un valor máximo (en valor absoluto) cuando ωt+φ=π. La caja se encuentra en la posición
y su velocidad es
La caja se detiene v=0, en el instante t tal que ωt+φ=3π/2. El máximo desplazamiento de la caja hacia la izquierda es
La caja se mueve hacia la derecha incrementando su velocidad hasta que se hace igual a la velocidad de la cinta v0 en el instante t tal que
Igualando los argumentos ωt=2π-2φ. La posición de la caja xd en este instante es
Para llegar a estas expresiones, se han utilizado las relaciones
El tiempo que dura la etapa de deslizamiento es ωt=2π-2φ
Empieza en la posición x0=μs·g/ω2 y termina en la posición xd=(2μk-μs)·g/ω2

La caja se mueve con la cinta

La caja se mueve con velocidad constante desde la posición xd hasta la posición x0=μs·g/ω2, con velocidad constante v0, el tiempo que tarda en desplazarse es
La caja está en reposo sobre la cinta, en equilibrio bajo la acción de la fuerza que ejerce el muelle kx y la fuerza de rozamiento fr=kx del mismo módulo y de sentido contrario a la fuerza que ejerce el muelle.
En la posición x0, la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo fr= μs·mg y la caja comienza un nuevo ciclo.

Resumen

La caja describe un MAS de frecuencia angular ω centrado en la posición de equilibrio xe= μk·g/ω2 en la que se igualan la fuerza que ejerce el muelle y la fuerza de rozamiento, en la etapa de deslizamiento.
La amplitud del MAS es
salvo en la región comprendida entre xd y x0 o entre el instante td y P=td+tp.
En la figura, se muestra la trayectoria de la caja en el espacio de las fases. Se trata de una elipse centrada en la posición xe= μk·g/ω2, de semieje mayor igual a la amplitud A, cortada por la recta v=v0.
En la figura, se muestra la representación gráfica de la velocidad v de  la caja en función del tiempo. Se ha señalado el tiempo td  que emplea la caja en deslizar sobre la cinta describiendo un MAS, y P es el periodo. Durante un breve intervalo de tiempo tp=P-td, la caja está en reposo sobre la cinta que se mueve con velocidad constante v0.
 

Ejemplo

  • Velocidad de la cinta, v0=1.0 m/s
  • Constante del muelle, k=50 N/m
  • Masa de la caja, m=1.0 kg
  • Coeficiente de rozamiento estático μs=0.75
  • Coeficiente de rozamiento cinético μk=0.50
La frecuencia angular del MAS es
En el instante t=0, la caja se encuentra en la posición x0= μs·g/ω2=14.7 cm
La caja describe un MAS centrado en xe= μk·g/ω2=9.8 cm, de amplitud A=15.0 cm
El tiempo que la caja desliza sobre la cinta es
La caja viaja sobre la cinta en reposo durante un intervalo de tiempo
El tiempo total que emplea la caja en completar un ciclo es P=td+tp=0.892 s
Publicado por en No hay comentarios:

Una partícula que cae sobre un muelle elástico

Consideremos el siguiente sistema oscilante. Una partícula de masa m, se deja caer desde una altura h, sobre una plataforma de masa M unida a un muelle elástico, de constante k. En una primera aproximación, consideremos que la plataforma tiene masa despreciable. La partícula cae sobre el muelle elástico, lo deforma y rebota, volviendo a la posición inicial de partida. El sistema es conservativo.
En la página titulada “Choque inelástico entre un bloque que cae y una plataforma que descansa sobre un muelle elástico” se ha estudiado el caso de que M≠0 y el choque sea completamente inelástico y la partícula quede pegada a la plataforma después del choque.

Ecuaciones del movimiento

Estudiamos las distintas etapas del movimiento de la partícula, para ello establecemos el origen en la posición de la plataforma en reposo, tal como se muestra en las figuras. Vamos a disponer de dos relojes uno que mide el tiempo parcial t de cada una de las etapas del movimiento y otro que mide el tiempo total tt, desde el momento en el que se libera la partícula a una altura h sobre el origen.
1.-Caída libre x≥0
La partícula se suelta a una altura h en el instante t=0, tt=0.
La posición y velocidad de la partícula es
x=h-gt2/2
v=-gt
La partícula tarda en llegar al origen x=0 un tiempo t1 (instante tt=t1)  alcanzando una velocidad v1
2.-La partícula deforma el muelle, x≤0
Las fuerzas sobre la partícula son el peso y la fuerza que ejerce el muelle. La segunda ley de Newton se escribe
ma=-kx-mg
(como x≤0, –kx≥0 es positiva, tal como se muestra en la figura)
En forma de ecuación diferencial
La solución de esta ecuación diferencial es la suma de la solución de la ecuación diferencial homogénea
x1=Asen(ωt)+Bcos(ωt) 
donde A y B son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales
y de la solución particular
x2=C
introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante C.
ω2C=-g
La solución de la ecuación diferencial completa es x=x1+x2
Las condiciones iniciales son las siguientes: la partícula unida al muelle elástico parte en el instante t=0 (tiempo total tt=t1) del origen x=0, con velocidad v1. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
El máximo desplazamiento de la partícula se alcanza en el instante t2 cuando v=0,
 
y vale
Para obtener esta expresión, se emplean las relaciones trigonométricas,
como ωt2 es un ángulo del segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno es negativo.
El tiempo que tarda en la partícula desde que parte del origen y regresa al origen es
Tv=2t2
Podemos comprobar haciendo algunas operaciones, que en el instante t=2t2, la posición de la partícula es x=0 y su velocidad es
Para ello, se utilizan las relaciones trigonométricas
cos(2θ)=cos2θ-sen2θ
sen(2θ)=2cosθ·senθ
y las dos que relacionan el seno y el coseno con la tangente,
3.-La partícula asciende
La partícula sale del origen con velocidad  en el instante t=0, (tiempo total tt=t1+2t2)
La posición y velocidad de la partícula son
Alcanza la máxima altura cuando v=0, y tarda un tiempo t3 en alcanzarla
es decir, su posición en el instante tt=t1+2t2+t3=2t1+2t1 es x=h, la de partida
El tiempo total T (periodo de la oscilación), que emplea la partícula desde que parte hasta que llega es
En la figura, se muestra la posición x de la partícula en función del tiempo total tt, durante un periodo T de oscilación

Energía de la partícula

La energía potencial de la partícula es
La energía total de la partícula es E=mgh, se convierte en cinética cuando pasa por el origen x=0. Cuando x<0 el muelle se deforma y la velocidad v de la partícula es
La velocidad se hace cero en la posición, raíz de la ecuación de segundo grado en x.
En la figura se muestra, la partícula en una posición x. El segmento horizontal representa la energía total, el segmento vertical AB es la energía potencial y el segmento BC es la energía cinética. La partícula se mueve en el intervalo xm≤x≤h. en el cual la energía cinética es mayor o igual a cero. Las posiciones xm y h se denominan de retorno porque la velocidad de la partícula en estos dos puntos es cero, partícula cambia la dirección de su velocidad.
 
La fuerza sobre la partícula es la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. La pendiente a la derecha del origen es constante.
La energía potencial presenta un mínimo en el intervalo x≤0. Se trata de una posición de equilibrio estable.
xe=-mg/k
El peso se iguala a la fuerza que ejerce el muelle elástico

Ejemplo.

  • Masa de la partícula m=5 kg
  • Constante elástica del muelle k=1500 N/m
  • El bloque parte de la posición h=1 m con velocidad v=0.
El bloque cae, y llega al origen x=0, en el instante tt=t1=0.452 s, alcanzando una velocidad v1=4.43 m/s.
La partícula entra en contacto con el muelle elástico. La deformación del muelle es máxima cuando la velocidad de la partícula v=0. Esto sucede en el instante tt=t1+t2
La partícula regresa al origen en el instante tt=t1+2t2=0.648 s
La partícula vuelve a la posición inicial de partida, completando un periodo en el instante tt=2t1+2t2=1.100 s
Publicado por en No hay comentarios:

El péndulo giratorio de Pohl

El péndulo de Pohl es un sistema oscilante que consta de un anillo de cobre unido a un muelle helicoidal que puede girar alrededor de un eje horizontal.
El disco se frena mediante las corrientes de Foucault que genera el campo magnético producido por una bobina en el anillo de cobre. Como se estudia en la página titulada “Corrientes de Foucault (I)” el momento de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre las corrientes inducidas es proporcional a la velocidad angular de rotación y de sentido contrario a ésta.
La intensidad del campo magnético es proporcional a la corriente i que pasa por la bobina, la fuerza sobre dichas corrientes es también proporcional al campo magnético. El momento de frenado es proporcional, por tanto, al cuadrado de la intensidad de la corriente que pasa por la bobina.
La fuerza oscilante se proporciona mediante un motor de velocidad variable, que dispone de una rueda impulsora y una excéntrica unida a una biela. La biela se atornilla a una varilla que puede girar alrededor del mismo eje y cuyo extremo está unido al muelle helicoidal. La varilla dispone de una ranura que permite ajustar la amplitud de la oscilación forzada. La varilla impulsora y el disco giran independientemente uno del otro, solamente están conectados por el muelle helicoidal.
En esta página, vamos a realizar dos experiencias simuladas con el péndulo giratorio de Pohl:
  • Oscilaciones amortiguadas: medida de la constante de amortiguamiento
  • Oscilaciones forzadas: medida de la amplitud en el estado estacionario en función de la frecuencia de la fuerza oscilante.

Oscilaciones amortiguadas

Se desplaza el disco de la posición de equilibrio y se suelta
La ecuación de la dinámica de rotación del anillo de cobre es
Iα=-kθ- λω
  • α  es la aceleración angular del disco cuando el indicador del péndulo se encuentra en la posición angular θ.
  • I es el momento de inercia del anillo respecto del eje de rotación
  • k es la constante del muelle helicoidal
  • λω es el momento de rozamiento proporcional a la velocidad angular ω de rotación, debidos a las corrientes de Foucault producidas en el disco de cobre por el campo magnético de la bobina.
Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial
ω0 es la frecuencia natural o propia del oscilador, y γ es la constante de amortiguamiento.
El péndulo de Pohl de la marca Leybold-Heraeus que disponemos en el laboratorio de Física de la EUITI de Eibar tiene una frecuencia de aproximadamente f0=0.5 Hz, un periodo P0=1/f0=2 s, la frecuencia angular propia es ω0=2πf0=π rad/s en ausencia de rozamiento, es decir, cuando no se conecta la bobina a la fuente de alimentación de corriente continua.

Oscilación es amortiguada. γ<ω0

La solución de la ecuación diferencial es
ω es la frecuencia angular de la oscilación amortiguada, que difiere poco de la frecuencia propia ω0, si el amortiguamiento γ es pequeño. No se debe de confundir ω la frecuencia de la oscilación amortiguada, con la velocidad angular de rotación del disco.
La velocidad angular de rotación dθ/dt es
Las condiciones iniciales determinan los valores de las constantes A y φ.
En la experiencia simulada, se desplaza el disco de cobre 150º, θ0=5π/6 de la posición de equilibrio y se suelta, momento en el que empieza a contar el tiempo t=0.
θ0=Asenφ
0=-γAsenφ+ ωAcosφ
Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas A y φ.
Las sucesivas posiciones de máximo desplazamiento angular, para las cuales la velocidad angular del disco es cero, se denominan posiciones de retorno y se calculan poniendo dθ/dt=0
tan(ωt+φ)=ω/γ
Si el móvil parte de la posición θ0 con velocidad angular nula, tanφ=ω/γ, los sucesivos tiempos son:
Medida de la constante de amortiguamiento
En el instante tm=mπ/ω, el máximo desplazamiento del indicador del péndulo es
El cociente
Ejemplo. En el instante t=0, la posición de máximo desplazamiento es la posición inicial θ0=150º, en el instante t9=9.0 el desplazamiento máximo medido es -48.4º.
La constante de amortiguamiento γ vale
Comprobación
t9=9·π/ω=9.007 s

Oscilación es crítica. γ=ω0

La solución de la ecuación diferencial es
La velocidad angular de rotación dθ/dt es
Las condiciones iniciales determinan los valores de las constantes A y B.
En la experiencia simulada, se desplaza el disco de cobre 150º, θ0=5π/6 de la posición de equilibrio y se suelta, momento en el que empieza a contar el tiempo t=0.
θ0=B
0=A-γB
Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas A y B.
El oscilador tiende a la posición de equilibrio θ=0, después de un tiempo t→∞, sin oscilar

Oscilación es sobreamamortiguada. γ>ω0

La solución de la ecuación diferencial es
La velocidad angular de rotación dθ/dt es
Las condiciones iniciales determinan los valores de las constantes A y B.
En la experiencia simulada, se desplaza el disco de cobre 150º, θ0=5π/6 de la posición de equilibrio y se suelta, momento en el que empieza a contar el tiempo t=0.
θ0=A+B
0=β(B-A)-γ(A+B)
Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas A y B.
El oscilador tiende a la posición de equilibrio θ=0, después de un tiempo t→∞, sin oscilar.

Oscilaciones forzadas

En la sección anterior, se ha descrito el oscilador amortiguado, la oscilación desaparece al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito. En esta sección se describe el mecanismo que permite mantener la oscilación.
Disponemos de un motor de velocidad angular variable ωf. El eje M del motor está situado a una distancia horizontal c y vertical a del eje O del anillo de cobre donde situamos el origen. Una excéntrica de radio r=|MB| está unida a una biela AB. El extremo A de la biela de longitud b está unida a una varilla excitadora AP que puede girar alrededor del eje O. La distancia R=OA se puede modificar mediante un tornillo que sujeta el extremo A de la biela a una ranura existente en la varilla. Modificando R se modifica la amplitud de la fuerza oscilante.
Como el motor gira con velocidad angular constante, en un determinado instante el ángulo que forma la excéntrica con la horizontal θ=ωf.·t. Dado el ángulo θ, calcularemos el ángulo f, que forma la varilla con la vertical.
Sea α el ángulo que forma la biela con la horizontal,
R·cosf-b·senα=a-r·senθ
R·senf+b·cosα=c+r·cosθ
Eliminamos el ángulo α de este sistema de dos ecuaciones
(Rcosf-a+rsenθ)2+(c+rcosθ-Rsenf)2=b2
y teniendo en cuenta que f es un ángulo pequeño, por lo que senf≈f y cosf≈0
En la figura, se muestra la gráfica del ángulo de la fuerza f en función de θ, para los siguientes datos r=1.0, b=22.0, a=10.0, c=22.0,
  • La curva roja se ha trazado para R=7.0
  • La curva azul se ha trazado para R=12.0
Ambas curvas difieren de un MAS, aunque pueden hacerse próximas a un MAS con una elección apropiada de los parámetros.
Como vemos en la figura, cambiando R, la distancia entre el eje de rotación del anillo de cobre O y el extremo A de la biela cambia la amplitud de la fuerza oscilante.
En la simulación supondremos que la fuerza oscilante produce un momento respecto del eje de rotación del anillo, descrito por la función armónica
Mf=M0f·cos(ωf·t)
siendo M0f· la amplitud y ωf la frecuencia angular.
La ecuación del movimiento del disco se escribe ahora
Iα=-kθ- λω+Mf
  • α  es la aceleración angular del disco cuando el indicador del péndulo se encuentra en la posición angular θ.
  • I es el momento de inercia del anillo respecto del eje de rotación
  • k es la constante del muelle helicoidal
  • λω es el momento de rozamiento proporcional a la velocidad angular ω de rotación, debidos a las corrientes de Foucault producidas en el disco de cobre por el campo magnético de la bobina.
  • Mf es el momento de la fuerza oscilante producida por el motor respecto del eje de rotación O.
Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial
  • donde ω0 es la frecuencia natural o propia del oscilador
  • ωf es la frecuencia angular del momento producido por la fuerza oscilante de amplitud M0f
  • γ es la constante de amortiguamiento,
Como mostramos en la página titulada “El estado transitorio y su evolución hacia el estado estacionario”, la solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales θ=0, y dθ/dt=0 en el instante t=0, el indicador del anillo parte del origen con velocidad angular inicial nula, es

Publicado por en No hay comentarios:
Suscribirse a: Entradas (Atom)