Vectores y Operaciones con vectores

Vector

Un vector tiene tres características esenciales: módulo, dirección y sentido. Para que dos vectores sean considerados iguales, deben tener igual módulo, igual dirección e igual sentido.

Los vectores se representan geométricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda a derecha como se muestra en la figura. 

Principales características de un vector

Vectores con igual módulo, pero distintas direcciones

Módulo: está representado por el tamaño del vector, y hace referencia a la intensidad de la magnitud ( número). Se denota con la letra solamente A o |A|

• Vectores de igual módulo. Todos podrían representar, por ejemplo, una velocidad de 15 km/h, pero en distintas direcciones, por lo tanto todos tendrían distinta velocidad.
• Vectores de distinto módulo. Se espera que el vector de menor tamaño represente por ejemplo una velocidad menor que la de los demás.
• Vectores de distinto módulo: Así, los vectores de la figura podrían representar velocidades de 20 km/h, 5 km/h y 15 km/h, respectivamente. 

 

Vectores de distinto módulo, pero igual dirección y sentido

 Dirección: corresponde a la inclinación de la recta, y representa al ángulo entre ella y un eje horizontal imaginario. También se pueden utilizar los ejes de coordenadas cartesianas (x, y y z) como también los puntos cardinales para la dirección.

• Vectores de distinto módulo: Dos vectores tienen la misma dirección cuando la inclinación de la recta que los representa es la misma, es decir, cuando son paralelos.
• Vectores de igual dirección: Sin importar hacia dónde apuntan o cuál es su tamaño, los vectores de la figura son paralelos, por lo que tienen la misma dirección

 Vectores con igual módulo, dirección, pero sentidos contrarios.

Sentido: está indicado por la punta de la flecha. (signo positivo que por lo general no se coloca, o un signo negativo). No corresponde comparar el sentido de dos vectores que no tienen la misma dirección, de modo que se habla solamente de vectores con el mismo sentido o con sentido opuesto.

Representación geométrica de un Vector

Ya has aprendido que los vectores son definidos a través de tres características, que son: módulo, dirección y sentido. Aunque su posición en el espacio no es uno de los componentes para definirlo, el estudio de los vectores se facilita si los ubicamos en un sistema decoordenadas cartesianas que nos ayude a tener mayor precisión, de manera de poder representarlos de una forma algebraica como de una manera geométrica.

La traslación de los vectores al origen

Una de las características es que cuando tenemos un vector que no está en el origen de nuestro plano cartesiano, lo podemos trasladar, de manera que siempre el origen sea el (0,0) y así facilitar nuestros cálculos, pues sólo necesitaremos el punto final para determinarlo.

En el dibujo anterior hemos llamado p al vector CD trasladado. Por otro lado hemos llamado q al vector AB trasladado. Si sus puntos de origen se trasladan al origen, veremos que el vector que antes tenía como coordenadas (0,2) y (3,5) ha sido traslado, de manera que sólo debemos identificar el punto final que en este caso corresponde a (3,3). De igual forma se ha procedido para el vector q.

Operaciones geométricas vectoriales

Al igual que los números, los vectores pueden operarse entre si, a través  de la suma, la resta, la multiplicación por un escalar, la divición por un escalar, producto punto y producto cruz. Estos dos últimos son propios de los vectores.

Suma geométrica de vectores

Al sumar dos vectores se obtiene otro vector (vector suma o resultante). Para obtener el vector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como “regla del paralelogramo”. Esto es, se construye un paralelogramo que tenga los vectores como lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el vector suma.

Suma de vectores

Si queremos sumar A + B , se dibuja uno a continuación del otro, trasladándolo. El vector resultante es el que va desde el punto inicial del primero vector hasta el final del último. Cabe destacar que la suma es conmutativa es decir:

A + B = B + A

Cuando se quiere sumar más de un vector, se procede de la misma forma anterior, pero ahora se colocan uno a continuación del otro hasta el último. Luego la recta que une el inicio del primer vector con el término del último es el vector resultante.

Suma de más de dos vectores

Resta geométrica de vectores

Para la resta se procede de la misma forma que la suma, pero el vector que resta se debe dibujar con sentido contrario, o sea el signo negativo cambia el sentido del vector. Luego el vector resultante es el que va desde el punto inicial del primer vector, hasta el final del vector que se le cambio el sentido.

Cabe mencionar que la resta no es conmutativa

A - B es distinto a B - A
A - B = - ( B - A ) 

Resta de dos vectores

Representación algebraica de un vector

Componentes rectangulares

Se basa en escribir un vector como suma de otros dos los cuales son ortogonales (perpendiculares entre si), para ello se apoya en el plano cartesiano, los vectores que se suman estén en alguno de los ejes. Las componentes rectangulares se llaman así porque se fundamenta en la construcción de un rectángulo.

 

Todo vector se puede escribir como la suma de otro dos ortogonales

En la imagen se puede ver que el vector A, no es más que la suma de un vector en el eje "X" y otro en el eje "Y" . Cada uno de estos vectores se le conoce con el nombre de componente, asi el vector Ax es la componente "X" del vector A.

Para poder escribir correctamente estos vectores debemos introducir los vectores unitarios, los cuales se detallan a continuación.

Vectores Unitarios

 Vector escrito según sus componentes

Se caracterizan porque su módulo es 1, por lo tanto sólo indican dirección. Como estamos trabajando con el plano cartesiano tendremos los siguientes vectores unitarios asociados a cada uno de los ejes.

Suma y resta de manera algebraica

Suma algebraica de vectores

Sean dos vectores A y B que se quieren sumar, entonces procedemos de la manera gráfica que sabemos, lo que nos da como resultado el vector R.

Ahora lo que haremos es escribir tanto el vector A como el B según sus componentes, entonces nos damos cuenta que la suma de la componentes "X" del vector A y B, es la componente "X" del vector R y así también con el eje "Y".

 Por lo tanto para sumar vectores de manera algebraica se debe escribir cada vector según sus componentes y luego sumar las componentes "X" e "Y" de los vectores, el resultado será el vector resultante según sus componentes, con las cuales se puede sacar el módulo del vector R.

Componentes de un vector

A continuación una animación para estudiar y jugar sobre la suma,

Cálculo de las componentes de un vector

Como no hemos dado cuenta para sumar o restar y operar con los vectores es necesario escribirlo en sus componentes, para ello utilizaremos las proporciones trigonométricas.

Entonces al aplicar estas proporciones tenemos para el vector A que:

• Componente x es 5 cos 30
• Componente y es 5 sen 30
• El vector A según sus componentes es

Definimos el producto punto o producto escalar de a y b,y lo escribimos a·b , como el número real

Recordemos que:

cos = ady / hip

sen = op / hip

tg = op / ady

Cálculo de la dirección de un vector

Dibujar el siguiente vector: A = (3,-2)

Al observar el dibujo del vector A, nos podemos dar cuenta que:

* 3i sumado con -2j da como resultado el vector A.

* El ángulo con respecto al eje +x, en este caso está dado por la tg⁻¹ 3/2, el cual nos da como resultado un valor de 56,3º. Para ello debe tenerse en cuenta que se está trabajando en el cuarto cuadrante por lo tanto si nos damos cuenta el denominador debe ser negativo, sin embargo no lo colocamos para el cálculo del ángulo, pero si sabemos que estamos trabajando en el cuarto cuadrante. LA CALCULADORA SIEMPRE ENTREGARÁ LOS ÁNGULOS CON RESPECTO AL EJE X, LOS SIGNOS SÓLO DARÁN EL CUADRANTE. (ver figura 2)

Producto vectoriales

Producto escalar

Supongamos que tenemos dos vectores a y b en R³ y queremos determinar el ángulo entre ellos, esto es, el menor ángulo que forman a y b en el plano que ambos generan.

Definimos el producto punto o producto escalar de a y b, y lo escribimos a·b , como el número real que:

Una forma equivalente de definir el producto escalar entre dos vectores en un espacio euclídeo corresponde al producto de sus módulos por el coseno del ángulo menor que forman. Esta notación es independiente del sistema de coordenadas elegido, por tanto, también de la base del espacio vectorial que escogemos.

Se deduce del teorema de Pitágoras que la longitud del vector a= a1 i + a2 j + a3 k  es:

Propiedades del producto escalar

Producto Cruz

Sean dos vectores A y B en el espacio vectorial R³ ^. El producto vectorial entre ellos da como resultado un nuevo vector C. El producto vectorial se denota mediante A x B, por ello se lo llama también producto cruz. También se puede definir de una manera más sencilla  en término de sus módulos donde: 

donde n es un vector unitario y ortogonal a los vectores A y B y su dirección está dada por la regla de la mano derecha.

Regla de la mano derecha: Empuñe la mano y estire el dedo pulgar. Oriente los dedos empuñados en dirección del ángulo J (desde A hasta B), entonces el pulgar indica la dirección y sentido de J.

Producto cruz en forma matricial

Algunas Propiedades Matemáticas

¿Qué significa geometricamente el producto cruz?

La magnitud del producto vectorial o producto cruz como se le conoce, es igual al área del palelógramo formado por los dos vectores, o es igual al doble del área del triángulo formado con su resultante. Esto puede verse en la figura, en la que se muestra que:

Problema

Sean A y B dos vectores unitarios en el plano xy que forman ángulos -a y b con el eje x, respectivamente. Evalúe el producto cruz de estos vectores de dos maneras, una vez usando la definición y la segunda vez usando la expresión en términos de las coordenadas cartesianas, y de esta manera encuentre una expresión para sin(a + b).

Como se observa en la figura el ángulo entre los dos vectores es (a + b)  luego:

Vectores en 3D