Movimiento rectilíneo

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejercicio

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t²+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

• 2 y 3 s.
• 2 y 2.1 s.
• 2 y 2.01 s.
• 2 y 2.001 s.
• 2 y 2.0001 s.
• Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s)	x’ (m)	Δx=x'-x	Δt=t'-t	m/s
3	46	25	1	25
2.1	23.05	2.05	0.1	20.5
2.01	21.2005	0.2005	0.01	20.05
2.001	21.020005	0.020005	0.001	20.005
2.0001	21.00200005	0.00200005	0.0001	20.0005
...	...	...	...	...
			0	20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

• La posición del móvil en el instante t es x=5t²+1
• La posición del móvil en el instante t+Dt es x'=5(t+Dt)²+1=5t²+10tDt+5Dt²+1
• El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt²
• La velocidad media <v> es

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t³-4t²+5 m. Hallar la expresión de

• La velocidad
• La aceleración del móvil en función del tiempo.

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento

Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, mediante la integral definida.

El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t₀ y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta. Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t³-4t² +5 m/s. Si en el instante t₀=2 s. está situado en x₀=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad

Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀ y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v₀ que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior. Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.

Ejemplo:

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t² m/s². Sabiendo que en el instante t₀=3 s, la velocidad del móvil vale v₀=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son

Movimiento rectilíneo uniforme

Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando o gráficamente, en la representación de v en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

	Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.
	Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x₀

Interpretación geométrica de la derivada

Al entender el concepto de derivada y la interpretación geométrica de la derivada

Se elige la función a representar

Integral definida

Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀ y t. En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente

	Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es Δx=35·10=350 m
	Si v=6·t, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es el área del triángulo de color azul claro Δx=(60·10)/2=300 m
	Si v=-8·t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos: el de la izquierda tiene un área de (7.5·60)/2=225 el de la derecha tiene un área de (-20·2.5)/2=-25. El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25)=200 m

En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura

En el instante t_i-1 la velocidad del móvil es v_i-1, en el instante t_i la velocidad del móvil es v_i. La velocidad media <v_i> en el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-1 comprendido entre t_i-1 y t_i es

El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-1 comprendido entre t_i-1 y t_i es aproximadamente el área del rectángulo <v_i>·Δt_i. El desplazamiento total x-x₀ entre el instante inicial t₀, y el instante final t=t_n es, aproximadamente

donde n es el número de intervalos

Si v=-t²+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t₀=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale

x-x₀≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m

Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t₀, t) es muy grande Δt_i→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como

Si v=-t²+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t₀=0 y t=10 s vale

Cinemática

CINEMÁTICA

La Cinemática (del griego κινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

En la Cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia. La velocidad es el ritmo con que cambia la posición un cuerpo. La aceleración es el ritmo con que cambia su velocidad. La velocidad y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia su posición en función del tiempo.

Historia

Los primeros conceptos sobre Cinemática se remontan al siglo XIV, particularmente aquellos que forman parte de la doctrina de la intensidad de las formas o teoría de los cálculos (calculationes). Estos desarrollos se deben a científicos como William Heytesbury y Richard Swineshead, en Inglaterra, y a otros, como Nicolás Oresme, de la escuela francesa.

Hacia el 1604, Galileo Galilei hizo sus famosos estudios del movimiento de caída libre y de esferas en planos inclinados a fin de comprender aspectos del movimiento relevantes en su tiempo, como el movimiento de los planetas y de las balas de cañón. Posteriormente, el estudio de la cicloide realizado por Evangelista Torricelli (1608-47), va configurando lo que se conocería como Geometría del Movimiento.

El nacimiento de la Cinemática moderna tiene lugar con la alocución de Pierre Varignon el 20 de enero de 1700 ante la Academia Real de las Ciencias de París. En esta ocasión define la noción de aceleración y muestra cómo es posible deducirla de la velocidad instantánea con la ayuda de un simple procedimiento de cálculo diferencial.

En la segunda mitad del siglo XVIII se produjeron más contribuciones por Jean Le Rond d'Alembert, Leonhard Euler y André-Marie Ampère, continuando con el enunciado de la ley fundamental del centro instantáneo de rotación en el movimiento plano, de Daniel Bernoulli (1700-1782).

El vocablo Cinemática fue creado por André-Marie Ampère (1775-1836), quien delimitó el contenido de la Cinemática y aclaró su posición dentro del campo de la Mecánica. Desde entonces y hasta nuestros días la Cinemática ha continuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia.

Con la Teoría de la relatividad especial de Albert Einstein en 1905 se inició una nueva etapa, la Cinemática relativista, donde el tiempo y el espacio no son absolutos, y sí lo es la velocidad de la luz.

Elementos básicos de la Cinemática

Los elementos básicos de la Cinemática son: espacio, tiempo y móvil.

En la Mecánica Clásica se admite la existencia de un espacio absoluto; es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio. El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclídeo.

Análogamente, la Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos.

El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula; cuando en la Cinemática se estudia este caso particular de móvil, se denomina "Cinemática de la partícula"; y cuando el móvil bajo estudio es un cuerpo rígido, se lo puede considerar como un sistema de partículas y hacer extensivos similares conceptos; en este caso se la denomina Cinemática del sólido rígido o del cuerpo rígido.

Cinemática clásica. Fundamentos

Sistemas de coordenadas

En el estudio del movimiento, los sistemas de coordenadas más útiles se encuentran viendo los límites de la trayectoria a recorrer, o analizando el efecto geométrico de la aceleración que afecta al movimiento. Así, para describir el movimiento de una partícula que describe una trayectoria circular, la coordenada más conveniente sería el ángulo central relativo a una dirección o radio preestablecido. Del mismo modo, para describir el movimiento de una partícula sometida a la acción de una fuerza central, las coordenadas polares serían las más útiles.

En un buen número de casos, el estudio cinemático se hace referido a un sistema de coordenadas cartesianas, usando una, dos o tres dimensiones según sea la trayectoria seguida por el cuerpo.

Registro del movimiento

La tecnología hoy en día nos ofrece muchas formas de registrar el movimiento efectuado por un cuerpo. Así, para medir la velocidad se dispone del radar de tráfico cuyo funcionamiento se basa en el efecto Doppler. El taquímetro es un indicador de la velocidad de un vehículo basado en la frecuencia de rotación de las ruedas. Los caminantes disponen de podómetros que detectan las vibraciones características del paso y, suponiendo una distancia media característica para cada paso, permiten calcular la distancia recorrida. El vídeo, unido al análisis informático de las imágenes, permite igualmente determinar la posición y la velocidad de los vehículos.

Vectores y Operaciones con vectores

Vector

Un vector tiene tres características esenciales: módulo, dirección y sentido. Para que dos vectores sean considerados iguales, deben tener igual módulo, igual dirección e igual sentido.

Los vectores se representan geométricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda a derecha como se muestra en la figura. 

Principales características de un vector

Vectores con igual módulo, pero distintas direcciones

Módulo: está representado por el tamaño del vector, y hace referencia a la intensidad de la magnitud ( número). Se denota con la letra solamente A o |A|

• Vectores de igual módulo. Todos podrían representar, por ejemplo, una velocidad de 15 km/h, pero en distintas direcciones, por lo tanto todos tendrían distinta velocidad.
• Vectores de distinto módulo. Se espera que el vector de menor tamaño represente por ejemplo una velocidad menor que la de los demás.
• Vectores de distinto módulo: Así, los vectores de la figura podrían representar velocidades de 20 km/h, 5 km/h y 15 km/h, respectivamente. 

 

Vectores de distinto módulo, pero igual dirección y sentido

 Dirección: corresponde a la inclinación de la recta, y representa al ángulo entre ella y un eje horizontal imaginario. También se pueden utilizar los ejes de coordenadas cartesianas (x, y y z) como también los puntos cardinales para la dirección.

• Vectores de distinto módulo: Dos vectores tienen la misma dirección cuando la inclinación de la recta que los representa es la misma, es decir, cuando son paralelos.
• Vectores de igual dirección: Sin importar hacia dónde apuntan o cuál es su tamaño, los vectores de la figura son paralelos, por lo que tienen la misma dirección

 Vectores con igual módulo, dirección, pero sentidos contrarios.

Sentido: está indicado por la punta de la flecha. (signo positivo que por lo general no se coloca, o un signo negativo). No corresponde comparar el sentido de dos vectores que no tienen la misma dirección, de modo que se habla solamente de vectores con el mismo sentido o con sentido opuesto.

Representación geométrica de un Vector

Ya has aprendido que los vectores son definidos a través de tres características, que son: módulo, dirección y sentido. Aunque su posición en el espacio no es uno de los componentes para definirlo, el estudio de los vectores se facilita si los ubicamos en un sistema decoordenadas cartesianas que nos ayude a tener mayor precisión, de manera de poder representarlos de una forma algebraica como de una manera geométrica.

La traslación de los vectores al origen

Una de las características es que cuando tenemos un vector que no está en el origen de nuestro plano cartesiano, lo podemos trasladar, de manera que siempre el origen sea el (0,0) y así facilitar nuestros cálculos, pues sólo necesitaremos el punto final para determinarlo.

En el dibujo anterior hemos llamado p al vector CD trasladado. Por otro lado hemos llamado q al vector AB trasladado. Si sus puntos de origen se trasladan al origen, veremos que el vector que antes tenía como coordenadas (0,2) y (3,5) ha sido traslado, de manera que sólo debemos identificar el punto final que en este caso corresponde a (3,3). De igual forma se ha procedido para el vector q.

Operaciones geométricas vectoriales

Al igual que los números, los vectores pueden operarse entre si, a través  de la suma, la resta, la multiplicación por un escalar, la divición por un escalar, producto punto y producto cruz. Estos dos últimos son propios de los vectores.

Suma geométrica de vectores

Al sumar dos vectores se obtiene otro vector (vector suma o resultante). Para obtener el vector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como “regla del paralelogramo”. Esto es, se construye un paralelogramo que tenga los vectores como lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el vector suma.

Suma de vectores

Si queremos sumar A + B , se dibuja uno a continuación del otro, trasladándolo. El vector resultante es el que va desde el punto inicial del primero vector hasta el final del último. Cabe destacar que la suma es conmutativa es decir:

A + B = B + A

Cuando se quiere sumar más de un vector, se procede de la misma forma anterior, pero ahora se colocan uno a continuación del otro hasta el último. Luego la recta que une el inicio del primer vector con el término del último es el vector resultante.

Suma de más de dos vectores

Resta geométrica de vectores

Para la resta se procede de la misma forma que la suma, pero el vector que resta se debe dibujar con sentido contrario, o sea el signo negativo cambia el sentido del vector. Luego el vector resultante es el que va desde el punto inicial del primer vector, hasta el final del vector que se le cambio el sentido.

Cabe mencionar que la resta no es conmutativa

A - B es distinto a B - A
A - B = - ( B - A ) 

Resta de dos vectores

Representación algebraica de un vector

Componentes rectangulares

Se basa en escribir un vector como suma de otros dos los cuales son ortogonales (perpendiculares entre si), para ello se apoya en el plano cartesiano, los vectores que se suman estén en alguno de los ejes. Las componentes rectangulares se llaman así porque se fundamenta en la construcción de un rectángulo.

 

Todo vector se puede escribir como la suma de otro dos ortogonales

En la imagen se puede ver que el vector A, no es más que la suma de un vector en el eje "X" y otro en el eje "Y" . Cada uno de estos vectores se le conoce con el nombre de componente, asi el vector Ax es la componente "X" del vector A.

Para poder escribir correctamente estos vectores debemos introducir los vectores unitarios, los cuales se detallan a continuación.

Vectores Unitarios

 Vector escrito según sus componentes

Se caracterizan porque su módulo es 1, por lo tanto sólo indican dirección. Como estamos trabajando con el plano cartesiano tendremos los siguientes vectores unitarios asociados a cada uno de los ejes.

Suma y resta de manera algebraica

Suma algebraica de vectores

Sean dos vectores A y B que se quieren sumar, entonces procedemos de la manera gráfica que sabemos, lo que nos da como resultado el vector R.

Ahora lo que haremos es escribir tanto el vector A como el B según sus componentes, entonces nos damos cuenta que la suma de la componentes "X" del vector A y B, es la componente "X" del vector R y así también con el eje "Y".

 Por lo tanto para sumar vectores de manera algebraica se debe escribir cada vector según sus componentes y luego sumar las componentes "X" e "Y" de los vectores, el resultado será el vector resultante según sus componentes, con las cuales se puede sacar el módulo del vector R.

Componentes de un vector

A continuación una animación para estudiar y jugar sobre la suma,

Cálculo de las componentes de un vector

Como no hemos dado cuenta para sumar o restar y operar con los vectores es necesario escribirlo en sus componentes, para ello utilizaremos las proporciones trigonométricas.

Entonces al aplicar estas proporciones tenemos para el vector A que:

• Componente x es 5 cos 30
• Componente y es 5 sen 30
• El vector A según sus componentes es

Definimos el producto punto o producto escalar de a y b,y lo escribimos a·b , como el número real

Recordemos que:

cos = ady / hip

sen = op / hip

tg = op / ady

Cálculo de la dirección de un vector

Dibujar el siguiente vector: A = (3,-2)

Al observar el dibujo del vector A, nos podemos dar cuenta que:

* 3i sumado con -2j da como resultado el vector A.

* El ángulo con respecto al eje +x, en este caso está dado por la tg⁻¹ 3/2, el cual nos da como resultado un valor de 56,3º. Para ello debe tenerse en cuenta que se está trabajando en el cuarto cuadrante por lo tanto si nos damos cuenta el denominador debe ser negativo, sin embargo no lo colocamos para el cálculo del ángulo, pero si sabemos que estamos trabajando en el cuarto cuadrante. LA CALCULADORA SIEMPRE ENTREGARÁ LOS ÁNGULOS CON RESPECTO AL EJE X, LOS SIGNOS SÓLO DARÁN EL CUADRANTE. (ver figura 2)

Producto vectoriales

Producto escalar

Supongamos que tenemos dos vectores a y b en R³ y queremos determinar el ángulo entre ellos, esto es, el menor ángulo que forman a y b en el plano que ambos generan.

Definimos el producto punto o producto escalar de a y b, y lo escribimos a·b , como el número real que:

Una forma equivalente de definir el producto escalar entre dos vectores en un espacio euclídeo corresponde al producto de sus módulos por el coseno del ángulo menor que forman. Esta notación es independiente del sistema de coordenadas elegido, por tanto, también de la base del espacio vectorial que escogemos.

Se deduce del teorema de Pitágoras que la longitud del vector a= a1 i + a2 j + a3 k  es:

Propiedades del producto escalar

Producto Cruz

Sean dos vectores A y B en el espacio vectorial R³ ^. El producto vectorial entre ellos da como resultado un nuevo vector C. El producto vectorial se denota mediante A x B, por ello se lo llama también producto cruz. También se puede definir de una manera más sencilla  en término de sus módulos donde: 

donde n es un vector unitario y ortogonal a los vectores A y B y su dirección está dada por la regla de la mano derecha.

Regla de la mano derecha: Empuñe la mano y estire el dedo pulgar. Oriente los dedos empuñados en dirección del ángulo J (desde A hasta B), entonces el pulgar indica la dirección y sentido de J.

Producto cruz en forma matricial

Algunas Propiedades Matemáticas

¿Qué significa geometricamente el producto cruz?

La magnitud del producto vectorial o producto cruz como se le conoce, es igual al área del palelógramo formado por los dos vectores, o es igual al doble del área del triángulo formado con su resultante. Esto puede verse en la figura, en la que se muestra que:

Problema

Sean A y B dos vectores unitarios en el plano xy que forman ángulos -a y b con el eje x, respectivamente. Evalúe el producto cruz de estos vectores de dos maneras, una vez usando la definición y la segunda vez usando la expresión en términos de las coordenadas cartesianas, y de esta manera encuentre una expresión para sin(a + b).

Como se observa en la figura el ángulo entre los dos vectores es (a + b)  luego:

Vectores en 3D